线性动态电路的复频域分析.ppt

1、Chapter 14 线性动态电路的复频域分析,主 要 内 容,1.拉普拉斯变换的定义和基本性质；,2.拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理）；,3. KCL、KVL 的运算形式、运算阻抗(导纳)、运 算电路；,4.运用拉普拉斯变换分析线性电路。,5.网络函数在电路分析中的应用;,6.网络函数极点和零点的概念;,7.极点和零点分布对时域响应和频率特性的影响.,14 - 1 拉普拉斯变换的定义,定义在 0, ) 即 (0 t )区间的函数 f(t) ，它的拉氏变换式 为 F(s), F(s)称为 f(t) 的象函数， f(t) 称为 F(s) 的原函数。,1、拉普拉斯变换, 拉氏变换是一种积分变

2、换，把 f(t) 与 e-s t 构成的乘积由 t = 0-到 对 t 进行积分，定积分的值不再是 t 的函数，而是复变数 s 的函数。, 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换到 s 域复变函数 F(s) 。, 运算法（复频率分析）：应用拉氏变换进行电路分析。,s = + j为复数，有时称为复频率。,2、拉普拉斯反变换,拉氏变换,拉氏反变换,例 14-1：求以下函数的象函数。,(1) 单位阶跃函数 f(t) = (t),(2) 单位冲激函数 f(t) = (t),(3) 指数函数 f(t) = e t,解：(1) 单位阶跃函数 (t) 的象函数,(2) 单位冲激函数 (t) 的象函数,(3) 指

3、数函数e t 的象函数,例 14-2：求 f(t) = ( t - T ) 的象函数。,解：,推论：,14 - 2 拉普拉斯变换的基本性质,1. 线性性质,2. 微分性质,例14-3：若（1） ,（2） ,求其象函数。,解:（1）,（2）,3. 积分性质,例14-4：应用导数性质求下列函数的象函数。,解：(1),(2),例14-5：利用积分性质求单位斜坡函数 f(t) = t 的象函数。,解：,4. 延迟性质,例14-6：求下图所示矩形脉冲的象函数。,解：,常用函数的拉氏变换表（表14-1 PP350）。,14 - 3 拉普拉斯反变换的部分分式展开,2. 用部分分式展开有理分式 F(s) 时，

4、首先要把有理分式化为真分式，若 n m ，则为真分式；若 n = m ，则将化为,1. 电路响应的象函数通常表示为两个实系数的 s 的多项式之比，也就是 s 的一个有理分式。,3. 展开有理分式F(s) 时，要求出 D(s) = 0 的根，再根据根的不同情况展开。, D(s) = 0 有 n 个单根，n 个单根分别为 p1, p2, , pn , 则可展开为,为待定系数,例14-7：求 的原函数 f(t) 。,解：, 的根分别为,又,同理,故, D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j ,则,因 F(s) 是实系数多项式之比，故 k1, k2 为共轭复数,设 ,则

5、 ,有,例14-8：求 的原函数 f(t)。,解： D(s) = s2 + 2s + 5 = 0 的根分别为 p1 = -1 + j2 , p2 = -1 - j 2, D(s) = 0 具有重根，则应含有 ( s - p1)m 的因式,现设 D(s) = 0 中含有 ( s - p1)m 的因式，其余为单根， F(s)可分解为,b,a, 只要含有共轭复数，其系数则为共轭复数;,这里,例14-9：求 的原函数 f(t)。,解：令D(s) = (s+1)3s2 = 0, 有 p1= -1为三重根,p2= 0 为二重根,这里,14 - 4 运算电路,2. 元件电压、电流关系的运算形式,1. 基尔霍

6、夫定律的运算形式, 电阻 R 的电压、电流关系, 电感 L 的电压电流关系,sL 为电感L的运算阻抗， 为运算导纳，,或,，为反映 作用的附加电压源电压和附加电流源电流。, 电容C 的电压电流关系,和 分别为 C 的运算阻抗和运算导纳。,和 分别为反映 的附加电压源电压和附加电流源电流。, 耦合电感的运算电路,a. 为互感运算阻抗， 和 都是附加电压源。,b. 附加电压源的极性与 i1, i2 的进端是否同名端有关。,3. 用运算法分析串联电路,电压源电压为 ，电感电流初始值 ，电容电压初始值,由 ，则,令 为 RLC 串联电路的运算阻抗，在零初始条件下， ，则有,例14-10：用拉氏变换求

7、RLC 串联电路的(a) 阶跃响应；(b)零输入响应。（设 ，欠阻尼）。,解：(a) ，此时有,令 ，则得,查表可得：,(b) 设 ，则有,查表可得:,(c) 如求冲激响应，则有,14 - 5 应用拉普拉斯变换分析线性电路,1.相量法,正弦量 相量,求解正弦交流电路 求解以相量为变量的线性代数方程,相量 正弦量,相量方程：描述电路的激励相量与响应相量的关系，求解正弦稳态响应,2. 运算法,时间函数 象函数,求解时间函数 求解以象函数为变量的线性代数方程,象函数 时间函数,运算方程：描述电路的激励和响应的象函数关系，求解零状态响应。,结论：相量法中各种计算方法和定理完全可以移用于运算法。,例14

8、-11：图示电路原处于稳态，t = 0 时开关 S 闭合，试用运算法求解电流 i1(t)。,解：, 运算电路如图所示。,设回路电流为 Ia(s)、Ib(s)，方向如图中所示，则有,例14-12：下图所示为 RC 并联电路，激励为电流源 is(t)，若 (1) iS(t) = (t) A，(2) iS(t) = (t) A， 试求响应 u(t) 。,解：运算电路如右图，则有,（1）当 iS(t) = (t) A 时，,( 2) 当 iS(t) = (t) A 时，,例14-13：下图所示电路中，电路原处于稳态， t = 0 时将开关 S 闭合，已知 uS1= 2e-2t V, uS2 = 5 V

9、, R1 = R2 = 5 ,L = 1H, 求 t 0 时的 uL(t) 。,解：, 运算电路如右图所示。,应用结点法（弥尔曼定理），有,例14-14：下图所示电路中，已知 R1 = R2 = 1 ,L1 = L2 = 0.1H , M = 0.05H , 激励为直流电压 US = 1V，试求 t = 0 时，开关闭合 后的电流 i1(t) 和 i2(t) 。,解：运算电路如右图所示，回路电流方程为,解得：,例1415：下图所示电路，开关 S 原来是闭合的，试求 S 打开后电路的电流及两电感元件上的电压。,解:,开关 S 打开后，L1 和 L2 中的电流在 t = 0+时都被强制为同一电 流

10、，数值为 i(0+) = 3.75 A, 两个电感电流都发生了跃变，两个电 感电压中出现冲激函数。,由于拉氏变换式中下限取为 0- ，故自动地把(电压)冲激函数考虑了进去，无需求 t = 0+ 时的跃变值。,应用拉氏变换进行线性非时变电路的时域分析时不必确定积分常数，可以应用Ch3、Ch4 所介绍的各种方法和定理求解响应的象函数。,（并无冲激函数出现）,14-6 网络函数的定义,一、网络函数的定义,H(s)可能是驱动点阻抗(导纳)，转移阻抗(导纳)，电压转移函数或电流转移函数.,2. H(s)分母多项式的根即为对应电路变量的固有频率.,二、网络函数的性质,例14-16：电路中激励为 ，求冲激响

11、应 h(t), 也即电容电压 。,解：,3. 网络函数一定是 s 的实系数有理函数，其分子、分母多项式的根或为实数或为共轭复数，因线性非时变电路由线性电路元件 R,L(M),C及独立电源，受控源（线性控制系数）等元件组成，所列出的方程为 s 的实系数代数方程。,4. 网络函数中不会出现激励的象函数。,例14-17:下图所示电路为低通滤波电路, 已知, 激励是电压源 ， 试求电压转移函数 和驱动点导纳函数 。,解：运算电路如右图，回路电流方程为,14-7 网络函数的极点和零点,一、网络函数的一般形式,zi 称为网络函数的零点，因,pj 称为网络函数的极点，因,H(s) 的零点和极点或为实数或为共

12、轭复数， H(s) 的极点即为对应变量的固有频率.,二、零、极点图,以 s 的实部为横轴，虚部 j 为纵轴的坐标平面称为复频率平面 ( 或 s 平面 )，在平面上标出 H(s) 的极点和零点的位置, 就是 H(s) 的极、零点图. ( 用” ”表示极点，”O”表示零点 ).,例14-18 ：绘出 的极零点图。,解：,14-8 极点、零点与冲激响应,1H(s) 的分母具有单根且为真分式，冲激响应为, 为负实根， 为指数衰减， 越大,衰减越快，有 , 电路稳定；, 为正实根， 指数增长， 越大,增长越快，且有 ,电路不稳定；, 为共轭复根， 以 为包络线以 为频率的正弦函数；, 极点位于右半平面，

13、 随 t 增大,电路不稳定;,极点位于左半平面， 随 t 衰减,电路稳定;,，极点位于虚轴, h(t) 等幅振荡, 越大， 振荡频率越大；, 不管极点是实数还是共轭复数，只要极点位于左半平面，h(t) 必随 t 衰减，电路是稳定的，实际的线性电路，H(s) 的极点一定位于左半平面。,2. 零点位置只影响 kj 的大小，不影响 h(t) 的变化规律，根据H(s)极点的分布情况，完全可以预见冲激响应 h(t) 的特性.,h(t) 的特性就是时域响应中自由分量的特性，而强制分量的特点仅决定于激励的变化规律，故根据 H(s)的极点分布情况和激励的变化规律不难预见时域响应的全部特点。,例14-19 ：R

14、LC串联电路如下图所示，根据网络函数 的极点分布情况，分析接通恒定电压源 US 后 的变化规律。,解：,(1) 当 时, , 极点位于左半平面, 如上图中 的自由分量 为衰减的正弦振荡，包络线指数为 , 振荡角频率为 ；,(2) 当 R = 0 时, , 极点位于虚轴, 为等幅正弦振荡, 角频率为 ；,(3) 当 时, ，极点位于负实轴, 由2个衰减速度不同的指数函数组成。,的强制分量 取决于激励的情况,本例中， 因此 。,14-9 极点、零点与频率响应,如果令网络函数 H(s)中复频率 s 等于 ，可绘出角频率为 时的正弦稳态下的输出相量与输入相量之比。,研究 随 变化的情况就可以预见相应电

15、路变量的正弦稳态响应随 变化的特性。 电路变量的频率响应与相应的 H(s) 的极、零点有着密切的关系。,对于某一固定频率 来说， 通常是一个复数，即可表示为,为网络函数在 处的模值， 为网络函数在 处的相位。,幅频响应： 随 变化的关系;,相频响应： 随 变化的关系;,若已知网络函数的极点和零点，则按上式便可计算对应的频率响应，同时还可以通过在 s 平面上作图的方法定性描绘出频率响应。,例14-20：下图为RC串联电路，试定性绘出以电压 u2 为输出时该电路的频率响应。,解：,将 H(s) 中 s 用j代替，得,H(j ) 在 = 1, 2 和 3时的模值分别为 除以上图中线段长度 M1、M2

16、 和 M3，对应的相位分别为同图中的1 , 2, 3 的负值。,随 从零沿虚轴向 增长时， 趋于零，而相位从0 趋近于 ，由此，定性画出的幅频特性和相频特性如下所示。,可以看出，该电路具有低通特性，当 = 0 时， 而当 ，即 相当于 = 0 时模值的0.707倍。,滤波器理论中， ，称为低通滤波器的截止频率，用 表示，并称 0 到 的频率范围为通频带。,增大，截止频率 升高，通频带加宽；,增大，使冲激响应的衰减加快；,例14-21：下图所示为 RLC串联电路，设电容电压为输出电压 u2 , 电压转移函数 ，试根据该网络函数的极点和零点，定性的绘出 。,解：,设极点为一对共轭复数，即,定性绘出的幅频特性和相频特性如下图所示。,从上述分析中可以看出，当 p1, p2 如上图所示位置时，随 变化，M1 和 M2 变化几乎相等，可以看到没有一个极点对频率响应起主要作用。,当极点为共轭复