线性代数1-3章.ppt

1、线性代数 第一章 行列式,1.n阶行列式的定义:,D=det(aij)=,t为p1p2.pn的逆序数；,t1为q1q2.qn的逆序数.,2.行列式的性质：,1)DT=D;,2),3)kD等于k乘D的某1行(列);,4)若D有2行(列)成比例，则D=0;,5)可加性：,6),3.行列式按行(列)展开法则：,D=ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin =a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj,推论： ai1Aj1+ai2Aj2+.+ainAjn=0 (ij); a1iA1j+a2iA2j+.+aniAnj=0 (ij).,4.克莱姆法则：,系数行列式 D=,则方程组有唯一的一组解：,D

2、j=,第j列,j=1,2,.,n,xj=Dj/D,设线性方程组,A1j,A2j,Anj,克莱姆法则推论：设齐次线性方程组,系数行列式D=,则方程组只有唯一的一组零解：,xj=0, j=1,2,.,n,齐次线性方程组(1)只有零解充要条件为系数行列式D0.,(1),例1 求3次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,使,f(-1)=0,f(1)=4,f(2)=3,f(3)=16,解：,D=,=2.3.1.4.2.1=480,D2=0,D3=-240,D4=96, a0=336/48=7,a1=0,a2=-5,a3=2.,f(x)=7-5x2+2x3,Dn=,x=yz,P115/8(2)

3、,Dn=,线性代数 第二章 矩阵 1 矩阵的定义,定义：mn个数排成的数表,称为矩阵。记作 A=aijmn,aij为A的第i行第j列的元素。,几种特殊的矩阵,1) 行矩阵：a1,a2,.,an,2) 列矩阵：,3) 零矩阵：,4) n阶方阵：An=aijnn,5) 对角阵：,6) 单位阵：,2 矩阵的运算,一、加法,设A=aijmn,B=bijmn,则称A与B为同型矩阵.,此时，若aijbij，i=1,2,.,m;j=1,2,.,n,则记为：A=B,设A=aijmn,B=bijmn,定义: A+B=aij+bijmn,如,1)交换律：A+B=B+A; 2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

4、,运算律,B的负矩阵:B=-bijmn,定义: A-B= A+(-B)=aij-bijmn,2 矩阵的运算(续1) 二、数乘矩阵,kA=Ak=kaij，如,运算律,1)结合律: (kl)A=k(lA)=l(kA),2)分配律: (k+l)A=kA+lA; k(A+B)=kA+kB.,例1 设,且满足3X+2A=5B,求矩阵X.,解： 3X=5B-2A=,2 矩阵的运算(续2) 三、矩阵乘法,设A=aijms,B=bijsn,定义：AB=cijmn,cij=ai1b1j+ai2b2j+.+aisbsj,（即cij等于A的第i行与B的第j列对应元素积之和）,例2 计算下列乘法：,1),2),3),

5、4),=5,一般，ABBA,2 矩阵的运算(续3) 三、矩阵乘法,运算律,结合律: (AB)C=A(BC); 分配律：(A+B) C=AC+BC; A(B+C)=AB+AC; k(AB)=(kA)B=A(kB)(k为数)； EmAmn=Amn, AmnEn=Amn;如 OsmAmn=Osn, AmnOns=Oms.,例3 设,求AB,AC.,解：, 由ABAC，且A0推不出B=C;,由AB，推不出A=0，或B=0.,2 矩阵的运算(续4) 三、矩阵乘法 方阵的幂,设A为n阶方阵，k,l为非负整数，则定义:,A0=En,A1=A,A2=AA,A3=A2A,.,Ak+1=AkA,运算律,1) Ak

6、Al=Ak+l; 2) (Ak)l=Akl;,2 矩阵的运算(续5) 三、矩阵乘法 方阵的幂,例求An,解：,猜想：,假设nk时成立，则n=k+1时，,也成立.所以对一切自然数n成立.,2 矩阵的运算(续6) 三、矩阵乘法 方阵的幂,例 设A=PQ,求QP,A2n,A2n+1其中,解：,A2n=(PQ)(PQ).(PQ)=P 2nQ=PEQ=,A2n+1=A2nA=A=,方阵的多项式,设f(x)=a0+a1x+a2x2+.+akxk, A为方阵，则称,f(A)=a0E+a1A+a2A2+.+akAk,为方阵A的k次多项式,2 矩阵的运算(续7) 四、矩阵的转置,用Aaijmn的第i行(列)作矩

7、阵的第i列(行)，i=1,2,.m. 所得矩阵称为A的转置矩阵,记作AT如,运算律,1 ) (AT)T=A;,2 ) (A+B)T=AT+BT;,3 )(kA)T=kAT;,4 ) (AB)T=BTAT.,证：设A=aijms,B=bijsn,则 (AB)T=cijnm，BTAT=dijnm,cij为AB的第j行i列元素，为A的第j行与B的第i列对应元素积之和；,dij为BTAT的第i行j列元素，为BT的第i行与AT的第j列对应元素积之和；,即dij是B的第i列与A的第j行对应元素积之和 cij dij，,(AB)T=BTAT.,2 矩阵的运算(续8) 四、矩阵的转置 对称矩阵,若AT=A，则

8、称矩阵A为对称矩阵如,若AT=-A，则称矩阵A为反对称矩阵.如,aij=aji,aij=-aji,例6 设X=, H=E-2XXT,试证：H为对称矩阵.,证:HT=(E-2XXT)T,H为对称矩阵.,（对称矩阵与反对称矩阵必为方阵）,=E-2XXT=H,=E-2(XT)TXT,=E-2(XXT)T,=ET+(-2XXT)T,2 矩阵的运算(续9) 五、方阵的行列式,设A为n阶方阵:,称detA=|A|,为方阵A的行列式.,|A|0时，称A为非奇异矩阵; |A|=0时，称A为奇异矩阵.,1) |AT|=|A|;,性质：,2) |kA|=kn|A| (A为n阶方阵);,3) |AB|=|A|B|

9、(A,B为同阶方阵).,2 矩阵的运算(续10) 五、方阵的行列式 伴随矩阵,设A为n阶方阵:,称,为A的伴随矩阵.其中Aij为A中元素aij的代数余子式.,注意：A*的第i行(列)是A 的第i列(行)元素的代数余子式.,定理1 AA*=A*A=|A|E=,线性方程组,(1) 可表为:AX=b (2),其中：,A=,（系数矩阵）,X=,b=,(AX=,2 矩阵的运算(续11), 显然(1),(2)等价),3 矩阵的初等变换,一、初等行（列）变换,A经有限次初等变换化为B,称A与B等价,记作AB.,性质：反身性：AA; 对称性：若AB, 则BA; 传递性：若AB, BC ，则AC.,定理2 A=

10、aijmn B.,第r行,第r列,B=,mn,0rmin(m,n),称B为A的等价标准型.,3 矩阵的初等变换（续1） 二、初等矩阵,初等矩阵单位阵施行1次初等变换所得矩阵.,1）E,ri rj,i,j,i,j,(ci cj),=Ei,j,2）E,rik,(cik),=Ei(k),3）E,ri+krj,(cj+kci),=Ei,j(k),i,i,i,i,j,j,(k0),初等矩阵均为 非奇异矩阵.,3 矩阵的初等变换（续2） 二、初等矩阵,定理3 用1个m（n）阶初等矩阵左（右）乘Amn， 相当于对Amn施行1次相应的初等行（列）变换.,即 AmnEi,j Amn;,ri rj,ci cj,A

11、mnAmnEi(k);,AmnEi(k) Amn;,rik,AmnAmnEi,j;,cik,AmnEi,j(k) Amn;,ri+krj,Amn Amn Ei,j(k);,cj+kci,推论1：与（非）奇异矩阵等价的仍为（非）奇异矩阵.,证:设A为非奇异矩阵,AB,则有B=P1P2.PkAPk+1.Pl,P1,P2,.,Pl均为初等矩阵，均为非奇异矩阵.,推论2：非奇异矩阵必与单位阵等价.,|B|=|P1| |P2|.|Pk| |A| |Pk| .|Pl| 0. B亦为非奇异矩阵,证:设A为n 阶非奇异矩阵：|A| 0,B为A的等价标准型， |B| 0，只有 B=En,即AEn.,3 矩阵的初

12、等变换（续2） 二、初等矩阵,定理3 用1个m（n）阶初等矩阵左（右）乘Amn， 相当于对Amn施行1次相应的初等行（列）变换.,推论1：与（非）奇异矩阵等价的仍为（非）奇异矩阵.,证:设A为非奇异矩阵,AB,则有B=P1P2.PkAPk+1.Pl,P1,P2,.,Pl均为初等矩阵，均为非奇异矩阵.,推论2：非奇异矩阵必与单位阵等价.,|B|=|P1| |P2|.|Pk| |A| |Pk+1| .|Pl| 0. B亦为非奇异矩阵,证:设A为n 阶非奇异矩阵：|A| 0,B为A的等价标准型， |B| 0，只有 B=En,即AEn.,4 逆矩阵,定义：若A,B 为n阶方阵，满足：AB=BA=E,则

13、称 A可逆, B为 A的逆矩阵.,逆矩阵的唯一性： 设B、C均为 A的逆矩阵，则,B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.,记作:A-1=B (B-1=A).,定理4 n阶方阵A可逆的充要条件为:|A|0.,证:必要性.,设A可逆，则|AB|=|E|=1，|A|.|B|=1, |A| 0.,充分性.,|A| 0，又由定理1， A*A=AA*=|A|E,得, A可逆.且,推论1 ：若n阶方阵A,B满足：AB=E，则A-1=B ，B-1=A.,证: |A|.|B|= |AB|=|E|=1, |A| 0,A可逆.,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,|A-1|=1/|A

14、|;,推论2 ：,4 逆矩阵（续1）,推论3：初等矩阵均可逆.,Ei,j-1= Ei,j；,Ei(k)-1= Ei(1/k)；,Ei,j(k)-1= Ei,j(-k).,i,j,i,j,Ei,j=,Ei(k)=,i,i,(k0),Ei,j(k)=,i,i,j,j,且其逆矩阵亦为初等矩阵.,定理5 任何可逆阵均可表为 初等矩阵的乘积.,证：设A可逆,则A与E等价， EA,存在初等矩阵Pi(i=1,2,.,l), 使P1P2.PkEPk+1.Pl=A.故得证.,4 逆矩阵（续2）,运算律,设A,B,C均可逆，则,1)(A-1)-1=A;,2)(kA)-1=1/kA-1(k0);,3)(AT)-1=

15、(A-1)T;,4)(AB)-1=B-1A-1;(ABC)-1=C-1B-1A-1.,求逆矩阵方法：,1)观察法：若AB=E ，则A-1=B (B-1=A).,2)伴随阵法：,3) 初等变换法: A|E E|A-1(行变换) ；,A|B E|A-1B(行变换);,证:A=P1P2.Pk, A-1,E,又E=A-1A=P-1k.P-11A,B,=P-1k.P-11,B,4 分块矩阵,A11,A12,A21,A22,Aij_子块,分块矩阵的运算,(1)加法：Amn,Bmn采取相同分块,(2)数乘矩阵：,则,4 分块矩阵(续1),(3)乘法：,Aml的列划分与Bln的行划分一致，设,k1列,k2列,

16、kr列,k1行,k2行,kr行,则,其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+.+AirBrj,Ai1 Ai2 . Air,B1j B2j Brj,4 分块矩阵(续2),例1 求AB,其中,A1,A2,B1,B2,A1B1=,A2B2=,AB=,4 分块矩阵(续),(4)分块对角矩阵:A=,(Ai为ni阶方阵),性质：1）设,Ai ,Bi均为ni阶方阵,则,2）|A|=|A1|.|A2|.|As|,3）A可逆的充要条件 为：|Ai|0（i=1,2,.s) 且,4 分块矩阵(续4),例2 求A的逆矩阵.,A1,A2,例3 设A,B均为可逆方阵,则,解：,(5)分块矩阵的转置：,T,T,T,T,第三

17、章 线性方程组 1 矩阵消元法,例1 解方程：,解：增广矩阵 B=A|b=,第三章 线性方程组 1 矩阵消元法(续1),令x3=c，得方程的通解为:,c为任意常数.,阶梯阵U (首元所 在列依 行递增),首元,行最简型,第三章 线性方程组 1 矩阵消元法(续2),例2 考察方程：,解:B=A|b=,方程无解.,行变换,行变换,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩,定义1 矩阵Amn中，任取k行k列(km，kn)， 位于这些行、列交叉处元素构成一个k阶行列式，称为A的k阶子式.如,有2阶子式：,.Amn中共有CmkCnk个k阶子式.,中，有一个3阶子式|A|,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续1)

18、,定义2 若矩阵A中有一个r阶子式Dr0, 且所有的r+1阶子式(若有)全为零，则称 A的秩R(A)=r. 规定R(O)=0.,如,R(A)=2,若|An|0,则R(A)=n,称A为满秩阵.,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续2),矩阵秩的性质：,1.R(AT)=R(A);,2.R(Amn) min(m,n);,4.阶梯阵的秩,3.若R(A)=r,kr,则Dk=0.,(即矩阵的秩为矩阵的最高阶非零子式的阶数),定理1 设AB,则R(A)=R(B) (等价必等秩).,等于其首元的个数；,（首元对应的子式为最高阶非零子式）,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续3),例1.求A的秩，并求A 的一个

19、最高阶非零子 式.其中,解：A,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续4),例1.求A的秩， 并求A的一 个最高阶非 零子式.其中,(B的首元在1,2,4列，则A的1,2,4列中必有非零子式）,=B,=2(34-50) 0, A的一个最高阶非零子式为,R(A)=R(B)=3.,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续5),例2.设线性方程组AX=b,增广阵B.试证： R(A) R(B) R(A)+1,证：设R(A) =r,则A中所有r+1子式全为零， 且存在r阶子式Dr0,Dr亦为B的非零子式， R(B) r.,又考察B中任意r+2阶子式Dr+2，它的 r+2列中，必有r+1列在A中，剩余的一列 各

20、元素的代数余子式均为A中r+1阶子式 （全为零），易见Dr+2=0. R(B) r+1., R(A) R(B) R(A)+1,第三章 线性方程组 2 矩阵的秩(续6),定理2 设R(A)=r,则存在可逆阵P和Q,使 PAQ=,又存在初等阵Pi(i=1,2,.,k) ，使P1.PlAPl+1.Pk=B, 易知 P=P1.Pl和Q=Pl+1.Pk 均可逆，故得证。,证：设A的等价标准型为B，AB, R(B)=r， B=,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况,定理3 n元线性方程组AX=b 有解的充要条件为R(A)=R(B).,(无解的充要条件为R(A) R(B),有唯一解的充要条件为R(A)

21、=R(B)=n;,有无穷多组解的充要条件为R(A)=R(B)n.,定理4 n元齐次线性方程组AX=0 有非零解的充要条件为R(A)n (只有零解的充要条件为R(A)=n).,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续1),例3.问齐次线性方程组:,有无非零解？求出全部解.,解：R(A) 45, 有非零解,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续2),令,得通解：,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续3),例4. 问方程组,是否有解？,解：A|b=,R(A)=2,R(B)=3, R(A) R(B) 方程无解.,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续4),例5.解线性方

22、程组,解：A|b=,R(A)=R(B)=24,方程有无数多组解.,=U,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续5),U=,令,得通解：,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续6),例6. a为何值时，线性方程组,有唯一解？无解？无穷多组解？,解1：A|b=,-2a-a2,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续7), a =-3时，R(A)=R(B)=23,方程有无数多组解.,当a0且a -3时,R(A)=R(B)=3,方程有唯一解；,当a=0时,R(A)=1,R(B)=2,方程无解；,-a2-2a+3=-(a-1)(a+3),第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(

23、续8),例6. a为何值时，线性方程组,有唯一解？无解？无穷多组解？,D=,当a0且a -3时,D 0,R(A)=R(B)=3,方程有唯一解；,当a=0时,A|b=,解2：,R(A)=1,R(B)=2,方程无解；,第三章 线性方程组 3 线性方程组解的情况(续8),例6. a为何值时，线性方程组,有唯一解？无解？无穷多组解？,R(A)=R(B)=23,方程有无数多组解., a =-3时,A|b=,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性,定义1：n个有顺序的数构成的有序数组,(a1,a2,.,an) 或,称为n维向量.分别记作,= (a1,a2,.,an),（行向量）；,（列向量）.,a

24、j称为向量的第j个分量或坐标.,n维向量是几何向量的推广.,零向量：,n维单位坐标向量：,.,0=,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续1）,1) (a1,a2,.,an) +(b1,b2,.,bn)=(a1+b1,a2+b2,.,an+bn),定义n维向量的线性运算同矩阵一致：,2) k(a1,a2,.,an)= (ka1,ka2,.,kan),（列向量类似）.如设,则,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续2）,将线性方程组 AX=b 的系数阵A按列分块：,又X=,则等价于：,定义2：设有n维向量组A:,k1,k2,.,km，称向量,A的一个线性组合.,可由向量组

25、A线性表示.,.对任意一组数,方程AX=b 有解的充要条件为b可由A的列向量组线性表示.,也称向量,为向量组,任意n维向量可由单位坐标 向量线性表示.,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续3）,若B中每个向量均可由A线性表示，则称B可由A线性表示；,定义3：设有n维向量组A:,定理5 设AB，则A的行向量组与的B行向量组等价.,性质：1） A与A等价；,及n维向量组B:,2）若 A与B等价,则B与A等价；,3）若 A与B等价, B与C等价,则A与C等价.,行,设AB，则A的列向量组与B的列向量组等价.,列,若B可由A线性表示，且A亦可由B线性表示，则称,向量组A与向量组B等价.,

26、第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续4）,定义4：若对n维向量组A:,存在不全为零的系数k1,k2,.,km,使得,则称向量组A线性相关.,（*）,若(*) 成立时，ki必全为零,则称向量组A线性无关.,一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.,线性相关.,线性相关.,如,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续5）,证:不妨A中1, 2, ,s (sm)线性相关,性质：设向量组A :1, 2, ,m中有部分向量,则有ki不全为0,使,特别，若A中有零向量，则A线性相关.,线性相关，则向量组A线性相关.,系数不全为零，向量组A线性相关.,第三章 线性方程组 4 n维向

27、量及其线性相关性（续6）,定理6 向量组A:,充要条件为：A中至少有一个向量可由其余m-1个向量,k1,k2,.,km,其中ki0,使,系数li= -10, 向量组A线性相关.,充分性.设A中有向量可由其余向量线性表示：,(m2)线性相关的,线性表示.,证：必要性.设向量组A线性相关，则有不全为零的系数,则,则,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续7）,定理7 向量组A:1, 2,m线性相关的充要条件为：,(k1,k2,.,km不全为零),证：向量组A线性相关,方程组,矩阵1, 2,m的秩rm;,即,有非零解X=,线性无关的充要条件为:r=m.,第三章 线性方程组 4 n维向量及

28、其线性相关性（续8）,例1 设,分别讨论,解：,的线性相关性.,线性相关,和,线性无关,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续9）,例2 讨论n维单位坐标向量组的线性相关性.,解1：,线性无关.,R(En)=n,解2：设,即,x1,x2,.,xn必全为零.,线性无关.,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续10）,定理7 的4个推论：,推论1.设向量组A：,则向量组B:,线性无关，,证：,亦线性无关.,线性无关，,向量组B亦线性无关.,m,=m,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续11）,推论2.设mn,则m个n维向量必线性相关.,其秩R 1 2 . m

29、n m,证：将这m个n维向量构成矩阵： 1 2 . mnm, 1, 2,., m线性相关.,推论3.若1, 2,., m线性无关，而1, 2,., m,b线性相 关, 则b可由向量组1, 2,., m线性表示，且表法唯一.,证：设b=x1 1+x2 2+xm m,则有,R(B)=m,R(A)=m,R(B) m+1,方程组AX=b有解，且解唯一.证毕.,设A=1 2 . m, B=1 2 . m b,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续12）,推论4.若矩阵A 中有一个r阶子式Dr0,则 Dr 所在的r个行(列)向量线性无关.,证：Dr 所在的r列构成矩阵: B=b1 b2 .br

30、.,Dr为B的一个最高阶非零子式.,R(B)=r,b1, b2 ,.,br线性无关.,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续13）,例3 已知 1,2, 3线性无关，又,证明：1, 2, 3 亦线性无关.,证1：设 x1 1+x2 2+x3 3 =0, 即,因为 1,2, 3线性无关，,(1),系数行列式|A|=, R(A)=3,方程(1)只有零解，, 1, 2, 3线性无关.,第三章 线性方程组 4 n维向量及其线性相关性（续14）,例3 已知 1,2, 3线性无关，又,证明： 1, 2, 3 亦线性无关.,证2：1, 2, 3= 1+2, 2+3 , 3+ 1,R1, 2, 3

31、=R 1,2, 3 =3, 1, 2, 3线性无关.,第三章 线性方程组 5 向量组的秩,定义 设向量组A的部分向量组A0： 1 ,2 , ,r 满足：,1）A0线性无关；2）A中任意r+1个向量(若有)必线性相关.,称向量组A的秩为r,记作：rA=r.,如A:,则称A0为A的一个最大（线性）无关组.,中， 1 ，2线性无关,而1，2，3线性相关， 1 ，2为A的一个最大无关组，rA=2.,又如n维单位坐标向量组 1,2 , n 线性无关，,其最大无关组就是它自己.,其秩为n.,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续1),定理8 矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩.,证：设R(A)=r, 则A中

32、有r阶子式 Dr0 . Dr 所在的r列线性无关.考察A中任意r+1列，其构成矩阵设为B ，B 中任r+1 阶子式Dr+1 亦为A的子式，故全为零. R(B)r+1 , 所以此r+1列线性相关. A的列向量组的秩为r. 又R(AT)=r， AT的列向量组的秩为r，即A的行向量组的秩为r. 证毕.,A的最大无关组与A等价.,设A0：,为A的最大无关组.,则对A中任意向量,线性相关，,可由A0线性表示.,由定理7的推论3,易知,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续1),定理8 矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩.,A的最大无关组与A等价.,设A0：,为A的最大无关组.,则对A中任意向量,线性相关，

33、,可由A0线性表示.,由定理7的推论3,易知,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续2),例1 求下列向量组A的一个最大无关组，并将其余向量 表为最大无关组的线性组合.,A:,线性无关,解：,为A的一个最大无关组.设,=U.,=R(U)=2.,即,U,得：,A B,则A的列之间的关系不变.,行变换,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续3),例2 求A的列向量组的秩与一个 最大无关组A0，并将其余列向量 表为A0的线性组合.,1,2,4线性无关,解：,秩为3，,=U,为一个最大无关组.,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续4),U=,首元所在列均化为单位坐标向量. 为行最简形.,第三章 线性

34、方程组 5 向量组的秩(续5),定理9 设向量组A可由向量组B线性表示，则rArB.,证：设向量组A与B的最大无关组分别为：,与A0线性无关矛盾. rs.,A0：,记为：A=BK,于是齐次方程BKX=0,即AX=0有非零解.,因为R(K) sr,所以齐次方程KX=0有非零解.,得R(A)r,与B0：,往证：rs.,用反证法.假设rs,由题意可知：A0可由B0线性表示:,推论1. 等价向量组秩相等.,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续5),定理9 设向量组A可由向量组B线性表示，则rArB.,推论1. 等价向量组秩相等.,第三章 线性方程组 5 向量组的秩(续6),推论2. 设向量组A的部分向量组A0： 1,2, ,r满足：,1