插值法与数值微分.ppt

1、第二章 插值法与数值微分,插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)其表达式复杂不便于计算或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多 项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit插值,分段插值和样条插值.,求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, . , xn 处的值 y0 , y1 , , yn , 构造一个简单函数 (x) 作为函数

2、 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) (x) 使 (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn ,(a) 这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，(x) 称为插值函数， x0 , x1, . , xn 称为插值节点。 (a)式称为插值条件。常用的插值函数是多项式。 插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。,最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1) 这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件 pn(xi)=yi, i= 0,1

3、,2,，n, (2) 只要求出Pn(x)的系数a0 ,a1, an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 . a0+a1xn+anxnn=yn (3),而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式 = (4) 由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x

4、) 的方法-Lagrange插值和Newton插值。,2.1 线性插值 先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题(2)就是求一次多项式 P1(x)=a0+a1x 使它满足条件 P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 , 令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于 l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1. 这样l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=(x-x1), 再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到 x-x1 l0(x)=- , x0-x1 类似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0 这样x-x1 x-x

5、0 P1(x)=-y0 + -y1 , x0-x1 x1-x0 l0(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。,(x0 ,y0),(x1 ,y1),P1(x),f(x),Newton插值,Newton插值,把直线方程利用点斜式表示：,由于函数f(x)在xi,xj处一阶均差的定义是：,（）,因此, 是f(x) 在 x1 , x0处的一阶 均差， 利用均差的对称性， （） 式可以表示为： 这种形式的插值叫做牛顿（Newton）插值,定理2.1：设给定 x x0 x1 y y0y1 是过x0,x1的线性插值函数，a,b是包含(x0,x1)的任一区间，并设 在a,b上存在，则对任意

6、给定 , 总存在一点 使 且可以证明：,roll定理,如果函数f(x)满足： 在闭区间a,b上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得 f()=0,2.2 二次插值,线性插值是用两点 和 来构造y=f(x)的插值函数，下面用三个点 来构造y=f(x)过三点的插值函数。（过三点可以作一条抛物线）。,构造l0(x):由于l0(x)有x1和x2二个零点，因此有因子(x-x1)(x-x2)，又因有l0(x）是一个次数不高于二次的多项式，所以，还可能相差一个常数因子，于是把l0(x）写成：,当,互异时方程组的解唯一,

7、为了确定系数将三点代入方程得：,x0,x1,x2, f(x),f(x),抛物插值,利用条件 ，可求得： 那么x0点的二次插值基函数为： 同理构造 为：,插值函数： 牛顿二次插值多项式： 假设过 的二次插值多项式具有下面的形式： 确定系数A,B,C： 利用 我们有：,再利用 有： B = 最后 确定C： （为一阶均差的均差） 其中,f xi, xj , xk 为f (x)在点xi, xj, xk处的二阶差商 一般的称 为f (x)在点x0, x1, xn处的n阶差商。 于是得到二次牛顿插值多项式：,三、例题： 例1: 已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, si

8、n0.36=0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。 解： 由题意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 , y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。 用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及 x1=0.34 , 又由公式得,其截断误差为 其中 ，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx， 可取，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 P1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105， 若取x1=0.34，x2=0.36为节

9、点，则线性插值为 ，,其截断误差为， 其中 于是 用抛物插值计算 sin0.3367时，可得,这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得 其中 于是,2020/8/2,例2: 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据,高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求1200米处的压强值.,解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7

10、485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- - y0 + - y1 + - y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1) 代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/

11、500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980 所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2),例3.取节点x0=0,x1=1和对建立线性插值多项式和二次插值多项式。 解：先构造x0=0,x1=1两点的线性插值多项式。 x01 y1e-1 （1）拉格朗日插值多项式 先选过(0,1)和(1, e-1)的一次插值函数,这样： = (2)牛顿型插值多项式： 因为 ，所以,构造过,的二次插值函数，因为,(1)拉格朗日二次插值函数。 构造过,的二次插值基函数,因此 = 因此,（2）牛顿型二次插值函

12、 因为：,2.3 n次插值,设给定函数表 xx0 x1xn yy0y1yn 要求构造一个插值多项式 满足条件： （1） 是次数不高于n的多项式 （2）,把插值多项,表示成,写成方程组形式：,其中系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式 当互异时方程组的解存在而且唯一，这说明过n+1个点的 n次插值多项式存在而且唯一，,拉格朗日型n次插值多项式： （1）先构造n+1个插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数li(x) （2） li(x)的数值表： x0 x1 , xn l0(x) 1 0 , 0 l1(x) 0 1 , 0 ln(x) 0 0 , 1 （3）确定li(x)的零点，构造

13、li(x):,（4）利用 得：,（5）,这就是拉格朗日型n次插值多项式的一般形式,为了得到n次牛顿型插值多项式：（1）构造均差表：,这里,（2）,Newton-n次插值形式,逐次线性插值,（3）,N次插值表见教材表2.7,例1:给定数据表f(x)=lnx数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x) 解:差商表,N2(x)=0.87547+0.40010(x-

14、2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60) f(2.65) N2(2.65) N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80),插值函数，插值节点 n次插值基函数 拉格朗日(Lagrange)插值多项式 插值余项,关键词：,用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。 对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项式(

15、x)，满足下面两个条件： (1) (x)是一个不超过 n 次的多项式； (2) 在给定的点xi( I =0,1, ,n)上与 f(xi)取相同值，即 (xi)=yi (I=0,1, ,n)。 我们称(x) 为 f(x) 的插值函数，点 xi 为插值节点。 插值函数是计算方法的基本工具。,返回,若 n 次多项式 lj(x) (j=0,1, ., n)在n+1个节点 x0 x1. xn上满足条件 就称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x), ,ln(x) 为节点x0，x1，, xn上的n 次插值基函数。,返回,插值余项：若在a，b上用Pn(x)近似 f（x）, 则截断误差为 Rn(x)=f(

16、x) -Pn(x) , 也称为插值多项式的余项。,返回,形如 的插值多项式Pn(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。,返回,2.4 分段线性插值 问题：从余项分析看，插值多项式与被插值多项式逼近的程度是同分点的数目及位置有关的，能否说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的。 例 给定函数 取等距插值节点 试建立插值多项式 ,并研究它的误差.,例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象,在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):,y= f(x),y=p(x),分段线性插值函数：设在区间a,b上，给

17、定n+1个插值节点 和相应的函数值 求一个插值函数 ，具有下面性质： (1) （2） 在每个小区间 上是线性函数，插值函数 叫做区间a,b上对数据 的分段线性插值函数。 构造 数值表： 需满足的条件：,图示,分段插值函数的形式： 取等距插值节点，作分段线性插值函数 ,并计算 的值。 解 给出区间-1,0上的函数表。 X -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 Y 0.03846 0.05882 0.10000 0.20000 0.50000 0.0000,例3 给定函数,在0,1区间上的函数值可利用对称性得到，先构造各点的基函数：根据公式有：,那么分段线性插值函数,是,计算当x=-0

18、.9的值：,与前面的计算相比，显然分段插值函数计算的结果是比较满意的。,定理2.4 设给定节点,及相应的函数值,在a,b上存在，,是a,b上由数据,构成的分段,分段线性插值函数.,则: 证明：根据插值余项定理（2.1）在每个小区间上 有 由于,其中,由于,定理得证.,2.5 Hermite插值 假设函数y=f(x)是 在a,b上有一定光滑性的函数,在xoxn上有n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo.yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yi i=0,1,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道

19、f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢? Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。,设给定x0,x1和相应的函数y0,y1以及微商m0,m1,构造插值函数H(x),要求H(x)满足条件: H(x),是不超过三次多项式, (2) H(x0)=y0 , H(x1)=y1, 因为在 除函数值为零外，微商值也是零，所以有 另外， 最多是一个三次多项式，因此可表示为： 其中：利用 得a=1,在此应有 保证 为了确定b对 求微商：,把x=x0代入后：,（解出b）,利用,有：,于是有： ，

20、此外 是一个不超过三次的多项式，于是函数可表示为：,同理构造,：,下面构造,，因,在,上函数值为零,在,上微商值为零，故有因子,同理,插值多项式可以写成：,2.6 分段三次Hermite插值 给定a,b上的一串分点 作一个分段三次Hermite插值函数，H（x），要求满足条件： , (2)在每个小区间 上是三次多项式。 构造基函数：,及f(x)在分点上的函数值,和微商值,分段三次Hermite插值函数,样条插值函数（Spline） 样条：这一名词来源于工程中的样条曲线，绘图员为了将 一些指定点联结成一条光滑曲线，往往用细长的木条，把相近的点联接在一起，使之形成一条光滑的曲线。它的连接点处具有连

21、续的曲率。 设在区间a,b上取n+1个节点. 给定这些点上的函数值 ,现在要求构造一个三次样条函数S（x），使得满足下列条件： (1) (2)在每个小区间 上是一个三次多项式； (3) .,构造函数：假设在区间 上三次样条函数 存在，并用 来表示 在点xi处的微商值。由于曲线通过点 ,并且在每一个小区间 上满足条件： 故可利用Hermite插值公式写出小区间 上的三次样条函数 的计算公式：,求样点 上微商值 ，在样点 上对x求微商，并令 得：,由于二阶微商连续，因此 即,整理： 方程两边同时除以2得：,将方程两端同时乘以 得： 左端： 其中： 令,右端：,建立的方程组为： （*） 这是一个n+

22、1个未知量 的n+1个线性方程组，方程组有无穷多个解，为了确定唯一解，补充两个边界条件。 常见的边界条件有： （1）曲线在两端点x0,xn处的切线斜率已知，即 已知，那么由 构成的n-1个方程的方程组解唯一。 （2）函数在两端点x0和xn处二阶微商为零，即 或 ，由我们推得 的方程得：,于（*）式联立，也可唯一解出未知数 , 利用 的条件有： 利用 的条件有：,解三对角方程组的求解过程 其中 方程组写为： ,求递推公式： 将 代入上列方程组，并加以整理得： 记作 以此类推得到： 其中 这样，就可以逐个解出mi。,计算三次样条的步骤： （1）根据给定点 及相应的边界条件计算方程组及边界条件系数 。 （2