自动控制原理第三章__线性系统时域分析

1、第三章线性系统的时域分析,时域、根轨迹、频域分析法 时域特点：直观，准确，能提供时间响应的全部信息 重点：二阶系统的时域响应 系统稳定性分析 稳态误差的分析与计算,3.1 控制系统的时域响应及其性能指标,一、时域响应 稳态响应稳态误差 动态响应稳、快、准,二、时域性能指标 定量的描述：阶跃响应,典型输入信号,阶跃函数,斜坡函数,抛物线函数,脉冲函数,正弦函数,上升时间 tr 从原始状态开始，第一次达到单位阶跃响应的时间 超调量 过度过程时间ts 系统达到给定区所需的时间,3.2 一阶系统的时域分析,一、 一阶系统的单位阶跃响应,可用时间常数度量系统响应在各个时刻上的数值,二、 一阶系统的单位脉

2、冲响应,三、 一阶系统的单位斜坡响应,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,四、 一阶系统的单位加速度响应,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统的单位阶跃响应,，求得,上升时间,因为,根据峰值时间定义，应取,求导，并令其为零,超调量 %,将tp带入二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应表达式，可得：,超调量 %仅与有关。,调节时间,根据ts的定义，并借助二阶系统欠阻尼衰减正弦包络线图进行近似计算，可得：,当0 0.8时，通常使用以下近似式：,临界阻尼,过阻尼,=0（零阻尼）,单位阶跃响应拉氏变换式：,时域响应式：,系统处于无阻尼振荡状态，暂态响应

3、为恒定振幅的周期函数，频率为n(也称为无阻尼自然振荡角频率)。,几个特征： 1、 =0时，等幅振荡； 2、01时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5、-1 0时，振荡发散，系统不稳定。 6、 -1时，单调发散，系统不稳定。,小结： tr：克服非线性的影响，快速起动，故一般将系统设计成欠阻尼 ：很重要，,二阶系统的单位斜坡响应,存在的问题：,分析：T不可改变，只能改变K,结论：无法变参数，只能变结构,上升时间 tr 从原始状态开始，第一次达到单位阶跃响应的时间 超调量 过度过程时间ts 系统达到给定区所需的时间,一阶系统分析,可用时间常数T表示 性能指标,二阶系统分析,几个特征： 1、 =0时

4、，等幅振荡； 2、01时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5、-1 0时，振荡发散，系统不稳定。 6、 -1时，单调发散，系统不稳定。,小结： tr：克服非线性的影响，快速起动，故一般将系统设计成欠阻尼 ：很重要，,二阶系统的单位斜坡响应,存在的问题：,分析：T不可改变，只能改变K,结论：无法变参数，只能变结构,单独调节：解耦,3.4 高阶系统的时域响应,高阶系统分析方法： 由Matlab求解系统响应 由基本概念指引结构与参数的调整方向,近似处理,降阶,减少零极点,分析零极点的作用,偶极子,闭环主导极点,闭环主导极点： 距虚轴最远 周围没有其它的零点 其它极点远离虚轴,闭环零极点对阶跃响应的

5、影响,1. 极点对阶跃响应的影响,结论：增大峰值时间，减小超调量与调节时间,2. 零点对阶跃响应的影响,结论：上升时间、峰值时间减小， 超调量增加，有使系统阻尼 减小的趋势,影响随着闭环零点接近虚轴而加剧,进一步：在有闭环零点存在的情况下，系统参数应如何整定？,1.直接整定,2.微分欠阻尼,T=1s,闭环零点对系统单位阶跃响应总的影响是减小峰值时间，使系统响应速度加快，但会增大系统的超调量和调节时间，这种影响作用将随着闭环零点接近虚轴而加剧。 (2) 闭环主导极点决定了系统单位响应的动态特性，而闭环非主导极点则随着离虚轴越近，对系统单位阶跃响应的影响就越大。闭环非主导极点对系统单位阶跃响应总的

6、影响是增大峰值时间，使系统响应速度变慢，但可减小系统的超调量和调节时间，这种影响作用同样会随着闭环非主导极点接近主导极点而加剧。,两点结论,3.5 线性系统的稳定性分析,1.稳定性的基本概念,设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，最终系统回到原来的平衡状态，则称该系统是渐近稳定的，简称稳定；反之，若系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。,2.线性定常系统稳定的充分必要条件,所有的极点都必须位于复平面的左半部,基于线性系统的稳定条件，我们可得出一些结论： 线性定常系统的稳定性取决于闭

7、环极点的分布，而闭环极点的分布仅和系统的结构与参数有关，因此，线性系统的稳定性是系统自身所固有的特性，与外界输入信号无关； 有界的输入产生有界的输出 若在虚轴上有闭环极点存在，则系统为临界稳定，属于不稳定,3.劳斯稳定判据,稳定的必要条件,稳定的充要条件：劳斯判据,劳 斯 表,劳斯稳定判据： 线性系统稳定的充分且必要条件是 系统特征方程的全部系数都是正数； 劳斯表中第一列中所有项都具有正号。 第一列系数符号改变的次数，等于特征方程中，实部为正数的根的个数。,例,劳斯表第一列系数符号改变了两次，系统有2个根有正实部根，所以该系统是不稳定的,为简化计算，可在一行中同乘一个系数,例,或者：,例,特征

8、方程存在对称于原点的特征根,以第三行的元素作为系数， 构成的辅助方程,劳斯稳定判据的应用,相对稳定性,结论： 有一定局限性，这主要是因为这种判据不能指出，如何改善系统的相对稳定性和如何使不稳定的系统达到稳定,4.赫尔维茨稳定判据,线性系统稳定的充分必要条件是行列式的各阶主子式均大于0,n=4时：特征方程的各项系数为正,课堂作业：,3.6 线性系统稳态误差的计算,一、误差定义,误差预期值实际值,1.取决于输入信号的形式与大小 2.取决于开环传递函数的形式与参数,二、系统类型,1.阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数,静态位置误差系数,三、误差计算误差系数法,2. 斜坡输入作用下的稳态误差与

9、静态速度误差系数,静态速度误差系数,3. 加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数,静态加速度误差系数,分析速度反馈对稳定性 与稳态误差的影响,例,四、扰动输入作用下系统的误差分析,通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。,时产生的 称为扰动误差。,扰动输入作用下的稳态误差,扰动输入作用下的稳态误差,可见， 不仅与 有关，还与 和 有关（扰动点到偏差之间的那部分通道传递函数）。,式中：,扰动输入作用下的稳态误差,上式中 为开环传递函数所具有的积分环节个数。,当 ，即开环传递函数中无积分环节，同时假设 无纯微分环节，因此 中也无积分环节。,此时在阶跃扰动

10、输入时是有差系统，设,扰动输入作用下的稳态误差,当 ，即开环传递函数中有积分环节，但积分环节可在不同的地方。,设, 设 即 无积分环节, 设 即 有积分环节,此时，尽管有开环传递函数有积分环节，在阶跃扰动作用下还是有差的。,扰动输入作用下的稳态误差,若 ，在阶跃扰动作用下是无差的。若 在斜坡扰动作用下也是无差的。 因此 环节中的积分环节决定了扰动作用下的无差度。,五、误差分析与反馈环节的关系,由图可见，不管是给定还是扰动作用产生的稳态误差，都与图中反馈环节中的积分环节的个数有关。,扰动误差与积分环节的关系,例子：系统结构图如图所示。当 时，求系统的稳态误差 ；若要求稳态误差为零，如何改变系统结

11、构。,解：该系统对给定输入而言属于型系统。所以当给定输入为单位阶跃函数时的稳态误差,但该系统所以对于扰动输入为单位阶跃函数时的稳态误差 并不等于零。根据前面的分析知，稳态误差与G1中的增益和积分环节的个数有关。此时因G1无积分环节，所以,也可这样求,若想使稳态误差为零，则要求G1中有积分环节，令,扰动误差与积分环节的关系,此时,但此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统 。若要使系统稳定，还必须在原G1中 引入比例+微分环节,当K10，K20，0时系统稳定,扰动误差与积分环节的关系,由此可见当用 时，才能在保证稳定的前提下使系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零。,这个环节称为比例+积分环节或

12、比例+积分控制器（PI控制器）。,这个环节称为比例+积分+微分环节或比例+积分+微分控制器（PID控制器）。,稳态误差的例子|例3-9,例3-9速度控制系统的结构图如下图所示。给定输入和扰动作用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。,解：,稳态误差的例子|例3-9,3、总的稳态误差为：,2、,为了减少给定误差，可以增加前向通道上的积分环节个数或增大系统的开环放大系数。,为了减小扰动误差，可以增加偏差点到扰动作用点之间积分环节个数或放大系数。,放大系数不能任意放大，积分环节也不能太多（一般2个），否则系统将会不稳定。,结论：,复合控制系统：在控制系统中引入与给定作用和扰动作用有关的附加控制可构成复

13、合控制，可进一步减小给定误差和扰动误差。,图(a)的误差：,顺馈控制系统：,六、复合控制系统的误差分析,复合控制系统,再来计算图(b)的误差函数 。,复合控制系统,若满足 则 即无输入稳态误差，输出完全复现输入。该式称为给定作用实现完全不变性的条件。,前馈系统（按扰动作用的完全不变性条件设计）,令 ，由于是单位反馈系统，所以误差 。,未加前馈时，,前馈控制系统,加入前馈后，有：,显然，,这个条件就是对扰动作用实现完全不 变性的条件。,但在实际的系统中，有时 是难以实现的。 可以采取近似的补偿，以减小扰动稳态误差。,前馈控制系统,复合系统稳态误差例子,解：闭环传递函数为：,误差为：,无顺馈时，,位置误差：,有顺馈时，,复合系统稳态误差例子续,速度误差：,分析： 当 时，没有顺馈补偿，速度误差等于 。 当 时，还有速度误差，但