山西医科大学大一高数 不定积分

1、第三章 一元函数积分学,1,PPT学习交流,3.1 不定积分,2,PPT学习交流,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,3,PPT学习交流,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,4,PPT学习交流,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,5,PPT学习交流,不定积分的定义：,6,PPT学习交流,例1 求,解,解,例2 求,7,PPT学习交流,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这

2、点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,8,PPT学习交流,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,9,PPT学习交流,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,10,PPT学习交流,基本积分表 ,是常数);,说明：,11,PPT学习交流,例4 求积分,解,根据积分公式（2）,12,PPT学习交流,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质

3、,13,PPT学习交流,例5 求积分,解,14,PPT学习交流,例6 求积分,解,15,PPT学习交流,例7 求积分,解,16,PPT学习交流,例8 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,17,PPT学习交流,解,所求曲线方程为,18,PPT学习交流,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,19,PPT学习交流,练习题,20,PPT学习交流,练习题答案,21,PPT学习交流,3.2不定积分的计算 一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、 分部积分法,22,PPT学习交流,问题,？,解决

4、方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,23,PPT学习交流,在一般情况下：,由此可得换元法定理,24,PPT学习交流,实际计算时直接写做：,定理1,25,PPT学习交流,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,26,PPT学习交流,例2 求,解,27,PPT学习交流,例3 求,解,28,PPT学习交流,例4 求,解,29,PPT学习交流,例5 求,解,30,PPT学习交流,例6 求,解,31,PPT学习交流,例7 求,解,32,PPT学习交流,例8 求,解,33,PPT学习交流,例9 求,原式,34,PPT学习交流,例10 求,解,35,PPT学习交流,例11 求,解

5、,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,36,PPT学习交流,例12 求,解,37,PPT学习交流,例13 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,38,PPT学习交流,解（二）,类似地可推出,39,PPT学习交流,解,例14 设 求 .,令,40,PPT学习交流,例15 求,解,41,PPT学习交流,例16:求,同理可得:,42,PPT学习交流,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,43,PPT学习交流,证,设 为 的原函数,令,则,44,PPT学习交流,第二类积分换元公式,45,PPT学习交流,例16 求,

6、解,令,46,PPT学习交流,例17 求,解,令,47,PPT学习交流,例18 求,解,令,48,PPT学习交流,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,49,PPT学习交流,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,50,PPT学习交流,例20 求,解,令,51,PPT学习交流,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,52,PPT学习交流,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,53,PPT学习交流,例23 求,解,令,5

7、4,PPT学习交流,基本积分表 ,55,PPT学习交流,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),56,PPT学习交流,思考题,求积分,57,PPT学习交流,思考题解答,58,PPT学习交流,练 习 题,59,PPT学习交流,练习题答案,60,PPT学习交流,3.2.2分部积分法,61,PPT学习交流,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,62,PPT学习交流,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,63,PPT学习交流,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),64,PPT学习交流,例3 求积分,解,令,65,PPT学习交流,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,66,PPT学习交流,例5 求积分,解,67,PPT学习交流,例6 求积分,解,注意循环形式,68,PPT学习交流,例7 求积分,解,69,PPT学习交流,令,70,PPT学习交流,解,