(数学)数列求和.ppt

1、,数列求和问题,数列求和问题是这一章中的常见问题，下面我们将举例说明数列求和常用到的一些方法 . 1. 利用等差数列和等比数列的求和公式求和. 前边我们已经作了比较深入的讨论，这里只把公式复习一下即可.,. 等差数列的前 n 项和公式：,. 等比数列的前 n 项和公式：,2 . 拆成几个基本数列的和或差：,若数列 an 的通项 an = bn cn ( n = 1，2，3， ), 并且 bn 和 cn 都能求和，则,例 1 求数列 9，99，999，9999， 的前n项和 .,解：易求得其通项为 an = 10 n - 1 .,例 2 求和：Sn = 2 + 4 + 7 + + (2 n-1

2、+ n) .,解：Sn =(1 + 2 + 22 + + 2 n-1)+(1 + 2 + 3 + +n),3. 拆项相消求和法,例 3 求下列数列的和： 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + + n(n+1)(n+2) .,取 n = 1，2，3， ，n , 得,4. 乘数相减法 对于由等差数列与等比数列各对应项相乘所得到的数列，在求和时，可以利用乘数相减法，在推导等比数列前 n 项和公式时曾经用到此法，下面仅通过一个例子来说明此法的具体步骤 .,例 5 求 Sn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + + nxn ( x 1 ) .,5. 并项求和法,分析：本例直接求和不太

3、方便，但若把相邻两项 并为一项，求和就简便多了.,解：当 n 为偶数时，,当 n 为奇数时，,6. 构造法 为了解决数列求和问题，有时，可以通过构造恒等式等来求得问题的解决.,例 7 求 Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 .,解：构造恒等式 ( k + 1 )3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 .,令 k = 1，2，3，n ，得,23 13 = 3 12 + 3 1 + 1,33 23 = 3 22 + 3 2 + 1,43 33 = 3 32 + 3 3 + 1 ,( n + 1 )3 - n3 = 3 n2 + 3 n + 1 .,以上诸式两边分别相加，得 (n+

4、1)3 - 13 = 3(12 + 22 + 32 + + n2) + 3(1 + 2 + 3 + + n) + n,注：利用上述方法还可求得 13 + 23 + 33 + + n3， 同学们可以一试.,7. 归纳法 要求数列前 n 项和 Sn ，也可以根据条件，先求 出 S1 ，S2 ，S3 ， ，从中发现规律，猜想出 Sn 的表达式，而后用数学归纳法进行证明，“观察猜想证明”是本法的三部曲.,例 8 设数列 an 的通项公式为 an = (2n+1) 3n-1 (n = 1，2，3， )，求数列的前 n 项和 .,解：S1 = a1 = ( 21 + 1 ) 3 1-1 = 3 .,S2 = a1 + a2 = 3 + ( 22 + 1 ) 3 2-1 = 18 = 2 32 .,S3 = S2 + a3 = 232 + ( 23 + 1 ) 3 3-1 = 9 32 = 3 33 .,S4 = S3 + a4 =