MATLAB程序设计教程第8章 MATLAB数值积分与微分.ppt

1、第八章MATLAB数值积分与微分8.1数值积分8.2数值微分8.1数值积分8.1.1数值积分的基本原理求解定积分有多种数值方法，如简单梯形法、辛普森法、牛顿-柯蒂斯法等。他们的基本思想是把整个积分区间a和b分成n个子区间xi，xi 1，i=1，2和n，其中x1=a，xn1=b。这样，定积分问题就分解成求和问题。8.1.2数值积分的实现方法1变步长辛普森法是基于变步长辛普森法，MATLAB给出了确定积分的四次函数。这个函数的调用格式是：I，n=四(fname，a，b，tol，trace)，其中fname是被积函数的名称。a和b分别是定积分的下限和上限。Tol用于控制积分精度。默认情况下，tol=

2、0.001。跟踪控制是否显示积分过程。如果不是0，则显示积分过程；如果为0，则不会显示。默认情况下，trace=0。参数I是定积分值，n是被积函数的调用次数。例8-1定积分。(1)建立被积函数文件fesin.m.函数f=fesin(x) f=exp(-0.5*x)。* sin(x pi/6)；(2)调用数值积分函数四元来确定积分。s，n=四元(fesin，0，3 * pi) s=0.9008n=77，2牛顿柯特斯法是基于牛顿柯特斯法，并由MATLAB给出四元8函数来确定积分。该函数的调用格式为：I，n=四元8(fname，a，b，tol，trace)，其中参数的含义与四元函数相似，只是tol的

3、默认值为10-6。该函数能更准确地得到定积分的值，一般来说，该函数调用的步数明显少于四次函数，从而保证了所需的定积分值能以更高的效率得到。例8-2求定积分。(1)被积函数文件fx.m.函数f=fx(x) f=x.*sin(x)。/(1 cos(x)。* cos(x)；(2)调用函数quad8求定积分。I=48(FX，0，pi) I=2.4674。在示例8-3中，积分的近似值分别由四次函数和四次8函数确定，并且在相同的积分精度下比较函数的调用次数。调用函数四来确定积分：格式长；fx=内嵌(exp(-x)；I，n=四(FX，1，2.5，1e-10) I=0.2857944254766n=65，调用

4、函数quad8求定积分：格式长；fx=内嵌(exp(-x)；I，n=48(FX，1，2.5，1e-10) I=0.2857944254754n=33，3，被积函数由MATLAB中的一个表定义，trapz(X，Y)函数用于求解由表形式定义的函数关系的积分问题。其中向量X和Y定义了函数关系Y=f(X)。例8-4使用trapz函数计算定积分。顺序如下：X=1:0.01:2.5y=exp(-X)；%生成函数关系数据向量trapz (x，y) ans=0.28579682416393，8.1.3二重定积分的数值解上述二重定积分的数值解可以直接用MATLAB提供的dblquad函数得到。这个函数的调用格式

5、是：I=dblquad(f，a，b，c，d，tol，trace)。这个函数求f(x，y)在a，bc，d区域的二重定积分。参数tol和trace的使用与函数quad完全相同。例8-5计算二重定积分(1)创建函数文件fxy.m:函数f=fxy (x，y)global ki；ki=ki 1；%ki用于计算被积函数f=exp(-x.2/2)的调用次数。* sin(x . 2y)；(2)调用dblquad函数解决问题。全球ki；ki=0；I=dblquad (fxy，-2，2，-1，1) ki I=1.57449318974494ki=1038，8.2数值微分8.2.1数值差和差商8.2.2在MATLA

6、B中实现数值微分，没有计算数值导数的直接函数，只有计算前向差的函数。DX=差值(X，n):计算X的n阶向前差值，例如，差值(X，2)=差值(差值(X)。DX=差值(A，n，dim):计算矩阵A的n阶差值。当dim=1(默认状态)时，按列计算差值；Dim=2，按行计算差值。示例8-6基于向量V=1，2，3，4，5，6生成范德蒙矩阵，并按列执行差分运算。命令如下：V=vander(1:6) DV=diff(V)%计算V的一阶差，示例8-7使用不同的方法计算函数f(x)的数值导数，并在同一坐标系中生成f(x)的图像。程序如下：f=内嵌(sqrt(x . 32 * x . 2-x . 12)(x . 5)。(1/6)5 * x2)；g=内嵌(3*x.2 4*x-1)。/sqrt(x.3 2*x.2-x 12)/2 1/6。/(x 5)。(5/6)5)；x=-3:0.01:3；p=polyfit(x，f(x)，5)；%拟合f(x)DP=具有5次多项式p的polyder(p );%求拟合多项式的导数p dp dpx=polyval(dp，x)；