离散系统的z域分析.ppt

1、2020/8/3,1,第六章 离散系统的 z 域分析,2020/8/3,2,主要内容,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 反z变换 6.4 离散时间系统的z域分析,2020/8/3,3,与连续系统类似，离散系统也可用变换域法 进行分析。,差分方程,z变换,代数方程,6.1 z变换 从拉氏变换到z变换,第五章，连续系统的s域分析中：,微分方程,拉氏变换,代数方程,2020/8/3,4,由取样信号的双边拉氏变换引出z变换定义,引入一个新的复变量：,6.1 z变换 从拉氏变换到z变换,2020/8/3,5,通常记为,T通常取为1,6.1 z变换 从拉氏变换到z变换,2020/8/3,6,拉

2、氏变换与z变换的对应关系,6.1 z变换 从拉氏变换到z变换,1,2020/8/3,7,6.1 z变换 z变换的收敛域,收敛域（ROC）,2020/8/3,8,6.1 z变换 z变换的收敛域,2020/8/3,9,6.1 z变换 z变换的收敛域,极点外侧,2020/8/3,10,6.1 z变换z变换的收敛域,2020/8/3,11,6.1 z变换 z变换的收敛域,2020/8/3,12,几类序列的z变换收敛域,有限长序列,只在有限的区间(k1kk2)具有非零的有限值， z变换为：,6.1 z变换 z变换的收敛域,即有限项求和。 其z变换收敛域至少为： 除 z= 和 z=0 点以外的整个z平面。

3、,2020/8/3,13,2）k10, k20 时，收敛域为除z=点以外的整个z平面：,3）k10, k20 时，收敛域为除z= 0点以外的整个z平面：,6.1 z变换 z变换的收敛域,1）k10时：收敛域为除 z= 和 z=0 点以外的整个z平面 ：,2020/8/3,14,右边序列,kk1时 ，f(k)=0 。z变换为：,6.1 z变换 z变换的收敛域,右边序列的收敛域是半径为 Rx1 的圆外部分。 是：,2020/8/3,15,(1) 如果 k10，则收敛域为,(2)如果k10，则收敛域除去z=，为,(3)如果k1=0，则右边序列变成因果序列，其收敛域为：,6.1 z变换 z变换的收敛域

4、,2020/8/3,16,左边序列,kk2时, f(k)=0 , z变换为：,6.1 z变换 z变换的收敛域,2020/8/3,17,(1)如果 k20，则除去0点，收敛域为,(2)如果 k20，则收敛域为,6.1 z变换 z变换的收敛域,收敛域为：,2020/8/3,18,双边序列,双边序列是从k=- 延伸到 k=+ 的序列， 此序列的 z 变换为：,双边序列的z变换看成右边序列和左边序列的双边z变换叠加。,6.1 z变换 z变换的收敛域,2020/8/3,19,6.1 z变换 z变换的收敛域,2020/8/3,20,6.1 z变换典型序列的 z变换,极点外侧,2020/8/3,21,极点外

5、侧,极点内侧,6.1 z变换典型序列的 z变换,2020/8/3,22,6.1 z变换典型序列的 z变换,2020/8/3,23,主要内容,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 反z变换 6.4 离散时间系统的z域分析,2020/8/3,24,线性性质,且有任意常数，则,其收敛域至少是 的相交部分 收敛域可能扩大，当线性运算的结果为有限长序列时。,6.2 z 变换的性质 线性性质,2020/8/3,25,例 求下列信号的z变换 f(k)= 3k(k) + 2k(k),解,6.2 z 变换的性质 线性性质,2020/8/3,26,双边 z 变换的移位,若,则有：,证明：,6.2 z 变换

6、的性质移位（移序）特性,移位（移序）特性,单边z变换与双边z变换的移位性质有重要差别！,2020/8/3,27,例：求图所示长度为 2M+1 的矩形,解：,6.2 z 变换的性质移位（移序）特性,收敛域扩大,2020/8/3,28,单边 z 变换的移位,若,且有整数 m0, 则有：,6.2 z 变换的性质移位（移序）特性,2020/8/3,29,例：已知 （a为实数）的单边z变换为 求的单边z变换。,解：,6.2 z 变换的性质移位（移序）特性,2020/8/3,30,例：求周期为N的有始周期性单位样值序列的z变换。,解：,6.2 z 变换的性质移位（移序）特性,若f(k)为因果序列，则有f(

7、-1),f(-2),均为0，因此,2020/8/3,31,z域尺度变换 (序列乘 ),证明：,6.2 z 变换的性质 z域尺度变换,2020/8/3,32,例：求指数衰减正弦序列 的z变换。,解：,6.2 z 变换的性质 z域尺度变换,2020/8/3,33,k域卷积定理,若,则,其收敛域至少是收敛域的相交部分，若出现极点被抵消的情况，收敛域会扩大。,证明：,6.2 z 变换的性质 k域卷积定理,2020/8/3,34,、的z变换,解：,例：已知，求单边序列,6.2 z 变换的性质 k域卷积定理,2020/8/3,35,解：,例：求图所示双边三角形序列的 z 变换,所以,6.2 z 变换的性质

8、 k域卷积定理,2020/8/3,36,周期为N的有始序列的z变换,6.2 z 变换的性质 k域卷积定理,2020/8/3,37,z域微分（序列乘k）,6.2 z 变换的性质 z域微分,2020/8/3,38,解： (1),例：求序列 的 z 变换,6.2 z 变换的性质 z域微分,2020/8/3,39,解： (2),利用z域微分性质,6.2 z 变换的性质 z域微分,2020/8/3,40,z域积分（序列除以 k+m）,设有整数 m，且有 k+m0 ,则,若有 m0，且有 k0 ,则,6.2 z 变换的性质 z域积分,2020/8/3,41,k域反转,若,则,证明：根据z变换的定义，并令

9、n=-k，有,6.2 z 变换的性质 k域反转,2020/8/3,42,部分和,若,则,证明：,即序列 f(k) 的部分和等于f(k) 和(k)的卷积和。 对上式取 z 变换即可得证。,6.2 z 变换的性质 部分和,2020/8/3,43,解：,例： 求 (a为实数) 的 z 变换。,6.2 z 变换的性质 部分和,2020/8/3,44,初值定理和终值定理,初值定理： 如果序列在 kM时，f(k)=0,如果M0，序列为因果序列，有：,6.2 z 变换的性质初值定理和终值定理,2020/8/3,45,终值定理：如果序列在 kM时，f(k)=0，M0,或写为,终值定理存在的条件： z=1在F(

10、z)的收敛域内，即所有极点都在单位圆内， 或F(z)有单极点z=1，若有其它极点，都在单位圆内。,6.2 z 变换的性质初值定理和终值定理,2020/8/3,46,原函数为,若，z=1 在F(z) 收敛域内，根据终值定理,例： 某因果序列 f(k) 的 z 变换为（a为实数）, 求f(0), f(),6.2 z 变换的性质初值定理和终值定理,解：,若，(z-1)F(z)=z， 根据终值定理,2020/8/3,47,解：设,例： 某因果序列 ,求序列的无限和,则,因为,所以,6.2 z 变换的性质初值定理和终值定理,2020/8/3,48,主要内容,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3

11、反z变换 6.4 离散时间系统的z域分析,2020/8/3,49,双边序列 f(k) 可分为因果序列 f1(k) 和反因果序列 f2(k),则,其中,6.3 反 z 变换,根据给定的收敛域，分别求出 ，相加即可,2020/8/3,50,幂级数展开法,象函数分别是 z-1 和 z 的幂级数，因此根据给定的收敛域将F1(z)和F2(z)展开为幂级数，它的系数就是相应的序列值。,6.3 反 z 变换幂级数展开法,2020/8/3,51,6.3 反 z 变换幂级数展开法,解：(1)由收敛域， f(k)为因果序列。用长除法将 F(z) 展开为 z -1 的幂级数。,例： 已知象函数，求对应收敛域的原序

12、列 f(k),所以,(2)由收敛域， f(k)为反因果序列。用长除法将 F(z) 展开为 z 的幂级数。,所以,2020/8/3,52,(3)由收敛域， f(k)为双边序列。根据收敛域将F(z)分解为两部分。,将它们分别展开为 z-1 和 z 的幂级数,6.3 反 z 变换幂级数展开法,2020/8/3,53,6.3 反 z 变换部分分式展开法,在离散系统分析中，经常遇到的象函数是 z 的有理分式,一般只有真分式才能展开为部分分式,根据 A(z)=0的 根（ 即F(z)的极点）的分布， 可以展开为几种情况,部分分式展开法,2020/8/3,54,有单极点,如果 F(z) 的极点 z1 , z2

13、 , zn 互不相同，且不等于0，则,其中,则,根据给定的收敛域，可以得到原函数。,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,55,解：,例： 已知象函数 ，求对应收敛域的原序列 f(k),所以,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,56,（1），所以原序列为因果序列,（2），所以原序列为反因果序列,（3），所以原序列为双边序列,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,57,解：,例： 求以下象函数的反 z 变换。,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,58,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,59,有共轭单极点,如果

14、 F(z) 有一对共轭单极点 z1,2 =cjd ,则,可以证明，若 A(z) 是实系数多项式，则,令,将极点写成指数形式,所以，若,若,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,60,解：,例： 求以下象函数的反z变换。,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,61,取上式的反变换,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,62,有重极点,如果 F(z) 在 z = z1a 处有 r 重极点，则,若,若,设 F(z) 有二重共轭极点,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,63,解：,例： 求以下象函数的反z变换,6.3 反 z 变换部分分

15、式展开法,2020/8/3,64,由于收敛域,6.3 反 z 变换部分分式展开法,2020/8/3,65,离散时间信号的z域分析小结,1) z变换与拉普拉斯变换的关系。 2) 双、单边z变换的定义与适用范围： 双边适用于离散系统综合设计 单边大多用于离散系统的分析 3) z域分析与其他域分析方法相同， z变换的性质类似于其他变换。但位移特性，单、双边变换明显不同。,2020/8/3,66,主要内容,6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 反z变换 6.4 离散时间系统的z域分析,2020/8/3,67,6.4 z 域分析差分方程的z 域解,差分方程的z 域解,均为实数， 在 k=0 时接

16、入，系统的起始状态为：,令,对差分方程的两边作单边 z 变换,得,2020/8/3,68,可解得：,其中：,取它们的反变换，即得到系统的零输入、零状态响应和全响应。,6.4 z 域分析差分方程的z 域解,2020/8/3,69,解：令,例： 描述LTI系统的差分方程如下，已知 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,对差分方程两边取z变换,6.4 z 域分析差分方程的z 域解,2020/8/3,70,6.4 z 域分析差分方程的z 域解,2020/8/3,71,6.4 z 域分析差分方程的z 域解,y强迫(k),2020/8/3,72,6.4 z 域分析系统函数,系统函数,定义系统函数为,2

17、020/8/3,73,求H(z)的方法, 由系统的单位序列响应求解：H(z)=Zh(k), 由系统的差分方程写出H(z), 由定义式,6.4 z 域分析系统函数,2020/8/3,74,解：对方程求z变换,例： 描述LTI系统的差分方程如下，求系统的单位序列响应,6.4 z 域分析系统函数,2020/8/3,75,解：对零状态响应求z变换,例： 已知LTI系统如下，求系统的单位序列响应和差分方程,6.4 z 域分析系统函数,2020/8/3,76,输入信号的象函数为,所以,6.4 z 域分析系统函数,2020/8/3,77,所以，后向差分方程为,6.4 z 域分析系统函数,2020/8/3,78,6.4 z 域分析系统的z域框图,系统的 z 域框图,2020/8/3,79,解：(1) 画出系统的 z 域模型如图，