北航有限元第4讲__等参元和高斯积分.ppt

1、北京航空航天大学，第四讲等参元与数值积分，金朝海，北京航空航天大学，实际问题往往需要用一些几何不规则的元来逼近原问题。很难直接研究这些不规则单元的表达式(如果位移插值函数是在全局坐标系中构造的，则形状函数矩阵、单元刚度矩阵和等效节点荷载矩阵的计算非常复杂)。事实上，可以在不规则形状的元素和规则形状的元素(矩形元素和六面体元素)之间建立映射关系，使得物理坐标系中的全局坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。等参单元是有限元法成为现代工程实践中最有效的数值分析方法的重要一步。北航大学，4.1等参元，一种分析简单杆系问题的新方法，等参元的定义给出了平面问题的四边形等参元的计算公式，利用等参元的优点，对

2、于三维问题的六面体等参元的计算公式，北航大学，一种分析简单杆系问题的新方法， 路径1:在整体直角坐标系中进行元素分析(参见第3讲)路径2:建立北航大学元素分析的局部自然坐标系，直角坐标系(x，y，z)，极坐标系统(r，)，二维，球面坐标系(r，)，圆柱坐标系(，z)，自然坐标系，关于坐标系，北航大学选择轨迹上的任意点o作为原点，用轨迹长度s描述粒子位置， 粒子沿切线方向的单位矢量为切线单位矢量，与切线正交且指向轨迹曲线凹侧的单位矢量为法线单位矢量。 北京航空航天大学在已知点的运动轨迹时，通常采用自然法来确定点的运动规律、速度和加速度。在自然坐标系中表示质点的速度非常简单，因为无论质点位于何处，

3、速度都只有切向分量，而没有法向分量。北航大学，一种新的方法：建立局部自然坐标系进行元素分析，坐标插值函数：局部自然坐标和全局直角坐标可以建立映射关系，节点条件：xi，xj，北航大学，坐标以单位表示，插值节点坐标，从局部坐标到物理坐标的转换，北航大学，单位位移函数：节点条件：北航大学。形状函数由自然坐标给出，表达式非常简单。北航大学，北航大学，单元应变能：单元刚度矩阵，单元外力，等效节点力，以此为例，自然坐标系下的分析结果与整个直角坐标系下的分析结果完全一致。忽略单元之间的力，北京航空航天大学，给出了等参单元的定义，等参单元：用相同的节点和相同的形状函数插值来表示单元的几何坐标和位移的单元，称为

4、等参单元。如果坐标变换中的节点数大于位移插值中的节点数，则称之为超参数变换。相反，如果坐标变换中的节点数小于位移插值中的节点数，则称之为次参数变换。等参元的插值函数由自然坐标给出。北航大学，平面问题四边形等参元的推导，整体直角坐标，元素的局部自然坐标，(一般四边形)，(归一化矩形)，映射，坐标映射，北航大学，映射，节点条件：构造插值函数，北航大学，北航大学，北航大学，节点条件。同样，北航大学、北航大学用插值的方法，用相同的节点和相同的形状函数来表示单元的几何坐标和位移。形状函数在自然坐标中给出。北京航空航天大学？北航大学，偏导数变换，雅可比矩阵：北航大学，四边形等参元形状要求，不能有重节点，内

5、角应在30到180之间(在有限变形的情况下)，避免它，北航大学，六面体等参元计算公式与三维问题，北航大学，北京航空航天大学，北航大学，北航大学，利用等参元的优势，可以方便地对任意几何形状的一般工程问题进行有限元离散。等参元的插值函数由自然坐标给出，等参元的所有计算都在自然坐标系统中的归一化母单元中进行，大大简化了相关运算。无论积分形式的每个矩阵的被积函数有多复杂，都可以通过标准化的数值积分方法进行计算，从而将工程问题的有限元分析纳入统一的通用程序中。北航大学，4.2数值积分，数值积分及其基本思想，牛顿-柯蒂斯积分公式，高斯-勒让德积分公式等。北京航空航天大学在计算刚度矩阵和等效节点载荷阵的单元

6、时，往往涉及复杂函数的定积分，数值积分法在有限元分析中应用广泛。数值积分法是一种近似方法。函数的定积分可以用N个节点函数值的加权组合来表示。北航大学数值积分的基本思想，北航大学求积公式的插值方法，至少有n-1个代数精度，北航大学牛顿-柯特斯求积公式。如果N个节点等距分布，以前的插值求积公式称为牛顿-柯蒂斯求积公式。牛顿-柯蒂斯求积公式具有n-1的代数精度。几种常见的求积公式有梯形公式，n=1辛普森公式，n=2，北航大学，高斯-勒让德求积公式，N个插值节点具有不等的分布节点和积分权重系数，可以在表格中查找，北航大学，高斯积分法预先定义积分点和相应的权重系数，并在指定的积分点得到积分函数的数值。高斯积分法的计算精度最高。具有n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶精度，也就是说，如果积分函数是2n-1次多项式，则通过具有n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。北航大学等参元高斯求积公式的一般形式，北航大学等参元积分阶数的选择，积分阶数的选择直接影响计算的精度和工作量。积分顺序的选择必须