数学物理方程-第3章-2012.ppt

1、数学物理方程，第三章调和方程，物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象，建立3-1方程及其定解条件，调和方程，又称拉普拉斯方程，其三维形式是，对应的非齐次方程，这种方程称为泊松方程，即这种方程是力学和物理学中经常遇到的问题。如果去掉时间导数项，前两章推导的波动方程和热传导方程可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流动函数满足调和方程。静电场的电势满足泊松方程。(1.1)、(1.2)、(1.2)、(1.1)、(1.2)、1。方程的推导，数学史上调和方程的一个著名例子来自牛顿引力。根据万有引力定律，质量为m(x0，y0，z0)的粒子对单位质量为(x，y，z)的粒子的引力等于GM/r2，作

2、用方向指向这两点连线上的(x0，y0，z0)，其中r是两点之间的距离。用向量形式写，也就是说，势函数是任意确定的，除了差是由任意常数允许的。F(x，y，z)被称为引力场函数。显然，引力场函数是势函数的梯度。根据叠加原理，分布在密度为(x，y，z)的区域中的质量所产生的总引力势为(1.3)。通过直接计算，可以验证(x，y，z)满足外部的调和方程，并且，divE=4，另一个例子是静电场的电势。假设空间有一个电荷密度为(x，y，z)的静电场，其中被封闭曲面包围的任何区域G都是静电学已知的，也就是说，向外的电通量等于G中总电量的4倍，(1.4)，注意到G的任意性，我们可以用格林公式得到调和函数的定义：

3、我们对空间变量取二阶连续偏导数，复函数只涉及二元函数。根据库仑定律，静电场是电势，即静电势u=u(x，y，z)，因此静电势u满足以下泊松方程u4，特别是当某一区域没有电荷时，该区域的静电势满足调和方程。2.定解条件和定解问题。为了确定方程(1.1)和(1.2)在一定空间区域内的解，必须附加一些明确的解条件。现在这两个方程中没有时间变量，所以它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，而定解问题是一类边值问题。类似于前面的波动方程和热传导方程，方程(1.1)和(1.2)可以提出三种类型的边界条件。本课程只研究第一和第二边值问题。(1.1)、(1.2)、(1.5)、(1.6)，1)第一边值问

4、题(狄利克雷条件):2)第二边值问题(诺依曼条件):在习惯思维中，所有上述定解问题都是在有界区域中考虑的。也就是说，满足边界条件的调和函数是在光滑的闭曲面上找到的。然而，在实践中，我们经常会遇到一些无界区域。例如，确定热源对象外部的稳定温度场。在这种情况下，有必要寻找满足封闭曲面外边界条件的调和函数。为了说明这种区别，我们把前者的定解问题称为狄利克雷问题和诺依曼问题，后者的定解问题称为狄利克雷问题和诺依曼问题。流体力学中的内流和外流问题是上述问题的典型代表。考虑不可压缩无粘势流，其速度势在流动区域满足拉普拉斯方程，在物体表面边界不存在法向穿透条件。内部流动问题的解决是在边界内进行的，例如在气罐

5、或管道中的流动。外流问题需要在边界以外的无限区域解决，例如翼型或飞机周围的流动。从直观的观点来看，对于外部问题，外部问题的解在上述确定的解条件下不是唯一的。以二维翼型流动为例，正态非贯穿(教科书中也有这个问题的例子。)因此，对于狄利克雷或诺依曼问题，有必要在无穷远处给解增加某些约束。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零(或极限为一定值)，即泊松方程的解可以利用叠加原理转化为调和方程的解：首先，找到泊松方程的一个特殊解u1，并用u=v u1代替，将原方程转化为关于v的调和方程，(1.7)，3-2格林公式及其应用，1。格林公式，高等数学中的高斯公式如下，在上面的公式中，让，然后有，得到格林

6、的第一个公式：(2.1)，如果被取代，那么格林的第一个公式写成：从(2.2)中减去(2.1)。首先，我们导出调和函数的积分表达式。检查该函数，其中M0(x0，y0，z0)是该区域中的固定点，可以验证由(2.4)表示的函数在除M0之外的区域中的任何地方都满足三维拉普拉斯方程，并且该函数被称为三维拉普拉斯方程的基本解。(2.2)、(2.3)、(2.4)。在公式(2.3)中，u是一个调和函数，v=1/rM0M。因为函数V在该区域有一个奇点M0，格林第二公式(2.3)不能直接应用于该区域。然而，如果以M0为中心且半径足够小的球K从该区域中移除，则公式(2.3)可应用于剩余的区域K。因此，在区域K中，u

7、=0，(1/r)=0，并且在球体上，它在这里由星号表示。因此，公式(2.5)可以改为(2.5)。当上述公式中的0时，得到调和函数的基本积分公式，其中M0在外，M0在内。对于泊松方程，有一个类似的公式(2.6)。从格林公式中，我们可以得到调和函数的以下主要性质。1)调和函数的一个充要条件：如果函数u在曲面所围成的区域内是调和的，且u上有连续的一阶偏导数，则反之亦然。因此，我们得到解纽曼问题的必要条件是它满足调和方程，并且根据叠加原理是泊松方程的特殊解。(类似于重力势函数公式)，物理意义：对于稳定的温度场，当内部没有热源时，任何封闭表面上的热通量应该为零。2)球面中值定理：让函数在曲面所围成的区域

8、内是调和的。对于每一个包含在内的闭球，在球的中心的U值等于在球的边界球上的U的积分平均值。公式的表达式可以写成，证明：将公式(2.6)应用于以M0为中心、半径为a的球面a，我们得到，这里，在球面上，它是零；3)根据极值原理，非常数函数u在以曲面为边界的区域内是调和的，其内点值不能达到上界或下界。推论1:调和函数的最大值和最小值只能在区域边界上得到。推论2:两个调和函数在边界上保持不等式uv，那么不等式也成立；只有在紫外线下，不等式中的等号才成立。(4)第一边值问题解的唯一性和稳定性首先，研究了调和方程的狄利克雷问题。定理：如果调和方程的Dirichlet问题的解存在，它必须是唯一的，并且连续地

9、依赖于边界条件f。证明：如果两个调和函数u1(x，y，z)和u2(x，y，z)在有界区域的边界上是相同的，那么它们的差u=u1(x，y，z)-u2(x，y，z)也满足调和方程in，但在中等于零。根据前面的推论1，u1u2，即狄利克雷问题的解是唯一的。其次，假设在边界上给出了两个函数f和f*，它们在上边界上处处成立。设u和u*是Dirichlet问题的解，其中f和f*作为调和方程在区域中的边界条件。那么调和函数u-u*取值f-f*。它是从极值定理的推论1中得到的，因此，在区域中的每一点都有(连续相关被证明)。现在，我们转向调和方程的狄利克雷问题。假设u1和u2是狄利克雷外部问题的解，并且v=u1-u2