第一章-场论及张量初步分析.ppt

1、第一章讨论张量的基本内容。(一)场论：梯度、散度和旋度(二)张量：二阶张量，1.1场的定义和分类。场：在空间的某一区域定义的标量函数或矢量函数、标量场和矢量场。r为空间点的矢量直径，X、Y、Z为r的直角坐标。圆管截面上的气体流场压力场分布，全国范围内的温度场分布，速度场，速度场，电场，均匀场：场中所有点的函数值同时相等，稳定场：场中的函数值不随时间t而变化，均匀场，稳定场根据等高线的相对位置和密度，我们可以看到标量函数-高度的变化。向量场的几何表示，向量的大小是一个标量，可以用等势面的概念来表示，向量的方向用向量线来表示。向量线：线上每个点的切线方向与该点的向量方向一致。根据矢量定义，有：笛卡

2、尔坐标形式：1.3梯度-标量场不均匀性的度量。对于给定的标量场(r，t)，它的梯度被用来表示在任何时间标量场中每个点的邻域中的函数变化。m点处沿曲线s方向的函数的方向导数，它表示m点处沿曲线s方向的函数(r，t)的变化率，并证明了其他方向的方向导数可以用通过m点的法线方向的方向导数来表示，当M1无穷接近m时，它近似与通过M1点相切。梯度：有一个矢量，它的方向是穿过M点的等势面的法线方向，它的大小是这个方向的方向导数。该向量是M点处函数的梯度，用于描述M点邻域内函数的变化，是标量场不均匀性的度量。其他方向的方向导数可以用通过m点的梯度的大小来表示，在笛卡尔坐标系中梯度的表示，梯度的主要性质，定理

3、1梯度满足以下关系：相反，如果，那么，梯度的主要性质，正定理证明标量函数的全微分是已知的，梯度的直角坐标形式是已知的，梯度的主要性质， 物理意义：函数在dr方向M点的增量等于梯度在dr方向M点的投影，梯度的主要性质，定理2如果A=梯度并且是向量直径R的单值函数，那么它沿着闭曲线L的线积分。相反，如果向量A沿着闭曲线L的任何一条线积分，向量A必须是标量函数的梯度，即A=梯度。 因为它是向量直径R的单值函数，所以沿着闭合曲线L的线积分：1.4向量通量，散度和奥高定理。对于给定的向量场a(r，t)，取一个曲面S，取S上的面积元素dS，取dS上的点M，其中N是S平面上M点法线方向上的单位向量，an是向

4、量A在法线方向上的投影。1.4矢量通量。分歧。在整个表面上积分的奥格定理，得到了向量A通过S平面的通量，它实质上等于函数的面积，1.4向量通量。分歧。奥格定理，当S平面是一个封闭表面时，通量是：1.4矢量通量。分歧。奥格定理，当封闭曲面所包围的体积为V时，用V除向量A的通量。极限定义为向量A的散度：1.4向量通量，散度和奥格定理。证明了当向量A具有连续的一阶偏导数时，这种极限(散度)存在。根据高等数学中的奥高定理，它本质上是面积分数与体积分数的关系、1.4矢量通量、散度与奥高定理。因为体积分数中的被积函数是连续的，根据中间的满足：体积v上函数的积分，积分体上q点的函数值，注：q点是积分体上的一

5、个定点数，1.4矢量通量，散度，Orga定理，1.4矢量通量，散度，Orga定理，1.4矢量通量，散度，Orga定理，1.5无源场及其性质，diva=0它具有以下主要性质：(1)通过矢量管任意截面的被动矢量A的通量保持相同值；(2)向量管不能出现或终止于场中。(3)在已知圆周L上拉伸的所有曲面S上的被动矢量A的通量是相同的，该通量仅取决于圆周L，与拉伸曲面S的形状无关，1.6循环。卷曲。斯托克斯定理，对于一个给定的矢量场a(r，t)，把一条曲线L作为场的线积分。如果L是一条闭合曲线，向量A沿L的循环是：1.6循环。卷曲。斯托克斯定理，对于一个给定的矢量场a(r，t)，取场中的一个点M，并取它围

6、绕M，1.6圆度，曲率和斯托克斯定理，使矢量A沿曲线L循环，并除以表面积S。当L收缩到M点，面积S趋于0时，矢量A在N方向的旋度矢量旋转投影定义为：1.6圆度，曲率和斯托克斯定理，极限存在的证明：斯托克斯公式：线积分和面积分数的关系，中值公式：面积分数和函数值1.6循环。卷曲。斯托克斯定理，极限存在的证明：斯托克斯公式：线积分与面积分数的关系，中值公式：面积分数与函数值的关系，1.6循环。卷曲。斯托克斯定理，斯托克斯公式：线积分与面积分数的关系，1.7无旋场及其性质，旋度=0的向量场称为无旋场，梯度性质定理2(书中P8-9)，1.7无旋场及其性质，1.8微分算子-微分和向量算法，拉普拉斯算子：

7、仅微分运算，1.8微分算子-微分和向量算法，哈密顿算子：一方面，它是向量，在运算中必须符合向量代数和向量分析的所有规则；另一方面，它是一个微分算子，只对位于算子右侧的量进行微分。1.8微分算子-微分和矢量算法，用哈密尔顿算子的形式表示梯度、散度和旋转，1.8微分算子-微分和矢量算法，用哈密尔顿算子的形式表示梯度、散度和旋转，1.9矢量和标量场的基本运算公式，1.9矢量和标量场的基本运算公式，1.9矢量和标量场的基本运算公式，矢量运算的基本规则，(b)张量的定义，二阶张量，对称张量和反对称张量，张量分解定理，共轭张量，张量从代数上讲，它是向量的推广。众所周知，矢量可以看作是一维的“表”(即分量按顺序排列成一行)，即一阶张量；矩阵是一个二维的“表”(每个分量排列在垂直和水平位置)，即二阶张量；那么n阶张量就是所谓的n维“表”。张量的定义在物理意义上，张量是三维坐标系中具有3r分量的物理量。应力张量，应