1用消元法解二元线性方程组.ppt

1、行列式,1用消元法解二元线性方程组,(1),(2),原方程组有唯一解,由方程组的四个系数确定,若记,则当时该方程组的解为,克莱姆法则,行列式的定义,1. 二阶行列式,对角线法则：,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,主对角线,副对角线,例 根据定义计算行列式的值,对角线法则,在三元一次线形方程组求解时有类似结果,即有方程组,当 时，有唯一解,其中,类似的n元一次线性方程组有克莱姆法则,在系数行列式 时有唯一解：,n 阶行列式的定义,按第一行展开,余子式,元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式,代数余子式,元素 的余子式,元素 的代数余子

2、式,三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和,按第一行展开,例1 根据定义计算行列式的值,例2 计算行列式的值,按第一列展开,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,上三角形行列式,逐次按第一列展开,上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积,下三角形行列式,逐次按第一行展开,下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积,特别,对角形行列式,类似可得：,上三角形行列式,下三角形行列式,对角形行列式,行列式某行（列）元素的公因子可提到,行列式符号之外即,推论1 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零,性质1,或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于

3、,用这个数乘此行列式,行列式的性质,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论2：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0,推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成 比例，则D=0,若行列式的某一行（列）的元素都是两数,之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式,之和，即,性质3,性质4,把行列式的某一行（列）的倍数加到另一,行（列），行列式不变.,例如,记作,行、列对掉,称 为行列式 的转置行列式,行列式转置后，其值不变。,表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有,计算行列式的值,例题,1、计算行列式的值,2、设有行列式,（1）,（2）,A11、A12、A13、A14分别是D的

4、第一行元素的代数余子式，试求 3A11-A12+3A13-A14的值。,解答,1、（1）,解答,1、（2）,2、将代数式还原成 行列式，得,行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素 尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式 降阶，最终化为二阶行列式，而得解。,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例4,解,第二节 矩阵的概念及运算,一 矩阵的概念 例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所

5、示： 产品 销量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220,为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表： 此表在数学上称为矩阵。,定义 由 个数，排成的m行n列的数表,叫做m行n列矩阵（或 矩阵）； 其中 叫做矩阵的元素； 分别叫 做 的行标和列标。,也可用 或 表示矩 阵,特殊矩阵,1）行矩阵：例,（行向量）,对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）：,如 为对角方阵,上三角阵,例如 为上三角阵,下三角阵,例如 为下三角阵,由m个方程构成的n元线性方程组,系数矩阵,增

6、广矩阵,系 数 矩 阵,由m个方程构成的n元线性方程组,增广矩阵,矩阵的相等,则称矩阵A与B相等，记作 A=B,设矩阵,如果,例2 设,解,三、数量乘法,一、加法,二、乘法,四、转置,矩阵的运算,1定义,设 则矩阵,称为矩阵A与B的和，记作 即,一、加法,矩阵加法的一种实际背景： 某种物资（单位：吨）从m个产地运往n个销地，两次调运方案分别用矩阵 表示。则求各产地到各销地的两次物资调运量就是作矩阵A和B的加法：,例如,(1) 交换律,(2) 结合律,(3),定义,2性质,3减法,称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积记作：,数量乘法,1定义,设 则矩阵,即,“数乘矩阵”的一种实际背景： 如果一个系

7、统A的输出信号 太小，需 外接一个放大器，其放大倍数为k，即输 出信号 都放大到k倍，则实际上相当 于数k与矩阵 作了乘积,2性质,设 则 矩阵,其中,称为 与 的积，记为 ,1定义,乘法,例： 某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位：千元），表（2）为产品 质量全为一等品或全为二等品时的利润表。 产品 A B 等级 一等品 二等品 月份 产品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2）,因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。 等级 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月,上述三个数表，用矩阵表示为

8、可记C=AB 。其中 而 （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）, 乘积 有意义要求 A 的列数 的行数., 乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行,乘 的第 列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,例1,设,例2,故,解,例3 线性方程组,令,则（1）可看成矩阵方程,而 无意义,例4,例5,例6,注意, 未必 ,若 ，称A与B可交换, 一般地，,即 且 时，有可能 , 未必有 或 ,2矩阵乘法的运算规律,(结合律),（分配律),设 的转置矩阵是指矩阵,记作 或 ,四、转置,1定义,2性质,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那么 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,

9、说明:,对称与反对称矩阵,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,方阵的行列式,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,可逆矩阵的概念,定义,设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得,ABBAE,则称A为可逆的，称B为A的逆矩阵.,逆矩阵的概念,例 设,（1） 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作,（2） 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且,逆矩阵的性质,若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,事实上若设 和 是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的。,A的逆记为 ，即 AA-1=A-1A=E。

10、,证明,证明,定义,1、伴随矩阵,称为A的伴随矩阵.,性质：,余子式，矩阵,设 是矩阵中元素 的代数,注意下标,可逆的充要条件,证：由行列式按一行（列）展开公式,立即可得,同理,证,同理,关于代数余子式的重要性质,非退化的），且,证：若由,所以，A可逆，且,两边取行列式，得,2、定理：矩阵A可逆当且仅当 （即A,得,反过来，若A可逆，则有,则A、B皆为可逆矩阵，且,证：,由定理知，A、B皆为可逆矩阵.,从而,再由,即有，,3、推论：设A、B为 n 级方阵，若,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,三、逆矩阵的求法,同理可得,故,例2,判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.,解：1）, A可逆.,再由,有

11、, 当时，A可逆.,且由于,例3,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,给方程两端左乘矩阵,得,给方程两端右乘矩阵,例4 设,解,于是,解,例5,例 求解方程组,解,定理 AX=B为n 元线性方程组，则,（1） 时， AX=B有唯一解；,（2） 时， AX=B有无穷多解；,（3） 时， AX=B无解；,齐次线性方程组解的结构,若记,，,，,方程组（2）可写成向量形式,对方程组（2），以下几种说法是等价的：,1. 方程组（2）有非零解；,2. 向量组,线性相关；,3. 系数矩阵A=（,）的秩小于,n，即R（A）n.,定理 齐次线性方程组（2）有非零解的充要条件 是它的系数矩阵A的秩R（

12、A）n,其中n为（2）的未知 量的个数。,若R（A）= n, 则方程组（2）只有零解。,推论 含有n个方程n个未知量的齐次线性方程组有 非零解的充要条件是它的系数行列式,。,注意,定义,线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,例1 判别向量组 的线性相关性。,解 设有数k1，k2，k3，使,显然k1=k2=1，k3=-1，满足上式。所以存在不全为零的数1，1，-1使 所以 线性相关。,AK,故向量 线性相关,AK0有非零解。,证明 设,即,所以,例2 证明向量组 线性无关。,所以 线性无关。,例3 判断向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,

13、-1,0)的线性关系,向量a=(1,2,-1,0),b=(2,-3,1,0),c=(4,1,-1,0)线性相关,向量a，b称为向量a，b，c的一个极大线性无关组。,向量a，b线性无关,不是等号,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕

14、.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,其中 是任意常数,基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,证明

15、,非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=B的通解为,定理1 若非齐次方程组（1）有解，即R(A)=r，则当r=n时，方程组（1）有唯一解；当rn时，方程组（1）有无穷多解。,证明 R(A)=n时，（1）对应的齐次方程组只有零解，因此由非齐次方程组通解的表达式知它有唯一解。Rn时（1）对应的齐次方程组有无穷多解，再由非齐次方程组通解的表达式知它有无穷多解。,例1 求解方程组,解,解,例2 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,方阵的特征值与特征向量,说明,一、特征值与特征向量的概念,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关 的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,例