高二数学二项式系数的性质.ppt

1、1.3 二项式定理,1.3.2 “杨辉三角”与二项式 系数的性质,复习巩固,1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？,2.二项展开式的通项是什么？,3.组合数有哪两个基本性质？,复习巩固,4.二项式系数是二项展开式中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的作用.,提出问题,杨辉三角与 二项式系数的性质,问题探究,观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？,具有对称性,将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3

2、 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6 1 6 15 20 15 6 1,（1）每行两端的数都是1；（2）与两端等距离的项的系数相等；（3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等.,上述数表是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为杨辉三角，杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6

3、 1 6 15 20 15 6 1,利用杨辉三角，(ab)7的展开式中各项的二项式系数分别是什么？,(ab)11 1 (ab)21 2 1 (ab)31 3 3 1 (ab)41 4 6 4 1 (ab)51 5 10 10 5 1 (ab)6 1 6 15 20 15 6 1,1,35,35,21,21,7,7,1,对给定的正整数n，设函数 ，r0，1，2，n， 当n6时，函数f(r)的图象是什么？,问题探究,一般地，函数 ，r0，1，2，n的图象是什么？ 它具有怎样的对称性？,n1个孤立的点，关于直线 对称,问题探究,在二项式系数 中，哪些二项式系数是相等的？,与首末两端“等距离”的两个二

4、项式系数相等.,问题探究,相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定 与 的大小？,问题探究,通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？,二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.,问题探究,当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？,当n为偶数时，第 项的二项式系数 为最大；,问题探究,当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？,问题探究,填空： （1）(xy)11的展开式中系数最大的项第 项，系数最小的项第 项； （2） ，,理论迁移,7,6,1023,512,课堂小结,1.杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个

5、性质.杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究.,2.二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数.,3.令x1，可求得(abx)n的展开式中各项的系数之和，当x取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法.,作业： P35练习：1. P37习题1.3A组：6，7，8.,二项式定理的应用习题课,知识回顾,1.二项式定理：,2.二项展开式的通项：,3.二项式系数的性质：,（1）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,（2）二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.当n为偶数时，

6、正中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为最大.,知识回顾,3.二项式系数的性质：,（3）所有二项式系数之和等于2n，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于2n1.,知识回顾,4.杨辉三角：,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ,（1）每行两端的数都是1；,（2）每行与两端“等距离”的两数相等；,（3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数 都等于它“肩上”两个数的和，等等.,例1 已知 的展开式中 第5项与第3项的二项式系数之比为143，求展开式中所有的有

7、理项.,应用举例,例2 已知(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项.,应用举例,例3 求集合Aa1，a2，an共有多少个子集？,应用举例,例4 用二项式定理证明： （1） 2511能被7整除； （2）5n15(nN*)能被20整除.,例5 用二项式定理求233除以9的余数.,余数为8,应用举例,例6 求1.028精确到0.001的近似值.,1.0281.171,例7 求证：,应用举例,例8 设nN*，求证： （1） ； （2） .,例9 求证：,应用举例,例10 (07年湖南卷)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行， ，则第n次全