材料力学 静不定

1、,材料力学,第十四章 超静定结构,第十四章 超静定结构,141 超静定结构概述 142 用力法解超静定结构 143 对称及反对称性质的应用,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系统)。,在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。,14-1 超静定结构概述,静不定问题分类,第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的。,第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的。,第三类：混合静不定：在结构外部和

2、内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的。,第一类,第二类,第三类,分析方法,1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。,2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。,一、力法的基本思路（举例说明）,解：判定静不定次数（一次）, 例1 如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图。,14-2 用力法解超静定结构,选取并去除多余约束，得到静定基，见图(b)。,列出变形协调方程：,加上原载荷,加上多余约束反力，,应用叠加法：,变形协调方程,或：,力法正则方程,系数11和1P可由莫尔定理求得(图c、d),求其它约束反力,由平衡方程可求得 A 端反力，其大小和方向。, 作弯矩图，见图(e)。,

3、注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。,二、力法正则方程,d11在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,X1多余未知量；,D1P在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移；,力法解超静定的基本步骤：,判定静不定次数,选取并去除多余约束，代以多余约束反力。,建立力法正则方程：,画出两个图：原载荷图和单位力图。,计算正则方程的系数： D1P和d11程，两图互乘得D1P ，单位力图自乘得d11。,试画出

4、图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。,解：刚架为一次超静定。,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。,建立力法正则方程,计算系数d11和自由项D1P,例2,代入力法正则方程：,得,画弯矩图,试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。,解：刚架有一个多余约束。,建立力法正则方程,例3,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。,计算系数d11和自由项D1P,代入力法正则方程：,得,试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。,解：刚架有一个多余约束。,建立力法正则方程,例4,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。,计算系数d11和自由项D1P,已知：F，a ，EA，

5、求桁架各杆的内力。,例14-2,A,B,D,C,4,3,2,1,5,6,1,A,B,D,C,4,3,2,1,5,6,1,F,( P78) 表14.1,F,A,B,a,a,4,3,2,1,5,6,求桁架各杆的内力,应用叠加法求桁架各杆的内力,A,B,D,C,4,3,2,1,5,6,F,应用叠加法求桁架各杆的内力,( P78) 表14.1,求三杆的轴力，各杆的EA相等。,解：,题2-43,试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。,解：刚架有三个多余约束。,例4,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。,X1,X2,X3,列出变形协调方程：,（X1方向上的位移）,（X2方向上的位移）,（

6、X3方向上的位移）,A,B,B,X3,X1,A,B,B,A,B,B,X2,应用叠加法,对于有n个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：,由位移互等定理知：,一、对称结构的对称变形与反对称变形,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。,14-3 对称及反对称性质的应用,正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。,例如：,由于对称性，反对称内力为

7、零： X2 =0,又如：,P,由于载荷的反对称性，对称内力为零： X1 =0， X3 =0,试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,解：取左边一半计算,例3,则,由平衡方程求得：,试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。,解：,例7,图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解。,试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。,解：,例7,图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力X2为零，只有一个多余未知力X1，只需列出一个正则方程求解。,X1,F/2,画刚架弯矩图。,试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。,例8,2a,a,a,q,q,q,解：图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力为零，只有一个多余未知力，只需列出一个正则方程求解。,则,试求AB 直径的长度变化。圆环的EI为常数。,例14-5 ,由于结构是对称、载荷对称，故水平对称轴横截面上反对称内力为零,试求AB 直径的长度变化。圆环的EI为常数。,例14-5 ,求AB 直径的长度变化。,试解图示超静定刚架。EI为常数。,A,B,C,P,P,a,a