第六章离散系统的z域分析.ppt

1、第六章 离散系统的z域分析,z 变换 z 变换的性质 逆z 变换 系统的z 域分析,6.1 z 变换,一、从拉普拉斯变换到z 变换,单边拉氏变换:,令 z=esT , 其中 z 为一个复变量,单边Z变换,二、z 变换定义,双边z 变换：,单边z 变换：,其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面。,简记为：,用符号记为：,三、收敛域（ROC),一般，序列的z 变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足,常见的z 变换是有理函数，即,零点： 使 P(z)=0（X(z)=0

2、）的根,极点： 使 Q(z)=0（X(z)=）的根,z 变换在极点处不收敛，因此收敛域可以以极点来限定边界。,讨论四种序列的收敛域：,（1）有限长序列,F(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-k ，k1kk2。,显然在 0|z|上都能满足收敛条件。,在k1、k2取特殊情况下，收敛域可扩为：,其z 变换为,（2）右边序列,设 是使级数收敛的|z|的最小值，则收敛域为,收敛域为收敛半径Rx-以外的z平面,其z 变换为,（3）左边序列,设 是使级数收敛的|z|的最大值，则收敛域为,收敛域为收敛半径Rx+的圆内,其z 变换为,（4）双边序

3、列,可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。,如果Rx+ Rx-，则存在公共的收敛区间，F(z)有收敛域：,收敛域为圆环,如果Rx+ Rx-，无公共收敛区间，F(z)无收敛域，不收敛.,解：,序列的z变换，不仅要给出F(z)函数，同时还需要给出收敛域。,必须在|b|a|的条件下，序列的Z变换才存在。,序列的Z变换不存在。,三、常用信号的z 变换,（1）指数序列ak (k),同理：,(2) 阶跃序列 (k),(4)正弦信号,z变换小结,z 变换收敛域的特点： 1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有f(

4、k)=(k)的收敛域是整个 z 平面。 2）在收敛域内没有极点，F(z)在收敛域内每一点上都是解析函数。 z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）,序列的Z变换，不仅要给出X(z)函数，还需要给出收敛域。,1、线性,若,则,6.2 z 变换的性质,2、移位特性,a、双边z变换的移位,序列移位会使z变换在z=0或z=处的零极点情况发生变化,如：,b、单边z变换的移位,f(k)是因果序列，单边z变换的移位,例：F(z)=1/(z-a) |z| a 求f (k)。,3、序列乘ak （z域尺度变换）,4、序列乘k （z域微分）,例：已知f(k)=k(k-1

5、)a k-2(k)，求f(k)的双边Z变换F(z)。,解 根据位移性质， 得,根据Z域微分性质,再应用位移性质得,再对上式应用Z域微分性质得,由于k=0、k=1时 k(k-1)ak-2=0，故,|z|a|,5、k 域反转,6、卷积定理,7、部分和,例: 已知,求f(k)的双边Z变换F(z)。,解:,|z|1,由序列乘ak性质，得,9、终值定理,8、初值定理,若kM(M为整数)时，f(k)=0，并且,若f(k)是因果序列，则,或,应用条件：1、时域，当k时，f(k)收敛；,2、z域，(z-1)F(z)的极点必须处于单位圆之内。,例： 已知,分别求f1(k)和f2(k) 的终值f1()和f2()。

6、,解 : （1）求f1(),若根据终值定理求f1()，则有,F1(z)在z=-1处有极点， (z-1) F1(z)在单位圆上不收敛，f1()不存在，终值定理不适用。,(2) 求f2(),F2(z)在z=1有一阶极点， (z-1) F2(z) 的极点为1/2， 收敛域为单位圆内。因此，根据终值定理得,6.3 逆z 变换,幂级数展开法 部分分式展开法,一、 幂级数展开法,根据双边Z变换的定义，若f(k)为双边序列，则F(z)为z和z-1的幂级数，收敛域为 |z|。即,一般情况,利用长除法，将F(z)展开成幂级数，从而得到f(k)。,例 :已知,|z|1，求F(z)的原函数f(k)。,解: 因为F(

7、z)的收敛域为|z|1，所以其原函数为右边序列。,即,二、部分分式展开法,若F(z)为有理分式，则F(z)可表示为,用部分分式展开法求z逆变换与部分分式展开法求拉普拉斯逆变换类似。但由于常用指数函数z变换的形式为 ，因此，一般先把 展开为部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式 表示的F(z)，再根据常用z变换对求z逆变换。,m n,真分式,例: 已知,求F(z)的原函数f(k)。,解:,例：已知,求F(z)的原函数f(k)。,解:,1|z|2,所以,1|z|2,6.4 z 域分析,差分方程的变换解 系统函数 系统z域框图 z域与s域的关系 系统的频率响应,时域差分方程,时域响应y(k),Z域响

8、应Y(z),Z变换,Z逆变换,解差分方程,解代数方程,Z域代数方程,一、差分方程的变换解,二阶系统响应的z域求解,对差分方程两边做单边Z变换，利用,初始状态为y(-1), y(-2),Yx(z),Yf (z),例:已知二阶离散系统的差分方程为,求系统的完全响应y(k)、零输入响应yx(k)、零状态响应yf(k)。,解:,Yx(z),Yf (z),二、系统函数,(1)定义：系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。,(2) H(z)与h(k)的关系：,(k),yf(k)=(k)*h(k),(3)求零状态响应：,(4)求H(z)的方法：,由系统的单位样值响应求解：H(z

9、)= zh(k),由系统的差分方程写出H(z),f (k),yf (k)=f(k)*h(k),F(z),Yf (z)=F(z)H(z),由定义式,例:一LTI离散二阶系统， 其起始条件为y(-1)=8, y(-2)=2, 当输入x(k)= (0.5)k(k) 时，输出响应为 y(k)= 4(0.5)k (k) - 0.5k(0.5)k-1 (k-1) -(-0.5)k (k) 求系统函数H(z)。,解：,y(k)= 4(0.5)k (k) - 0.5k(0.5)k-1 (k-1) -(-0.5)k (k),三、系统z域框图,参见书p313 例6.4-6,四、 z域与s域的关系,复变量z和s的关系为,其中，T是实常数，为取样周期。,将z和s分别表示为,则,（1）z的模与s平面的实部 的关系,（2）z的幅角与s平面的虚部的关系,z平面到s平面的映射是多值的。,五、 系统的频率响应,以周期Ts对f (t)取样，可得到复指数序列,令 ,则,零状态响应：,令 ，可得,系统的零状态响应仍为同频率、同取样周期的复指数序列,收敛域要包括单位圆,若离散系统的系