高等数学第二章导数与微分.ppt

1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的概念,第二章,1. 求曲线上一点处切线的斜率,在初等数学中我们已经知道，曲线y=f (x)上的两点M0(x0，y0)和M(x，y)的连线M0 M是该曲线的一条割线。当点M沿曲线无限趋近于点M0时，

2、割线绕点M0转动，其极限位置M0T就是曲线在点M0处的切线，如图2.2所示。,y=f (x),2.1导数的概念,2.1.1 导数的概念,曲线上的点由M0(x0，y0)变到M0(x0 x，y0 y),当 t很小时可用割线M0 M的斜率近似代替切线M0T的斜率。割线的斜率即为增量比,(3) 求极限,当 时，点M沿曲线无限趋近于点M0，割线M0 M的极限为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即,我们分三步来解决。,(1) 求增量,给x0一个增量 x，自变量由x0变到x0 x，曲线上点的纵坐标有相应的增量 y= f (x0 x) f (x0) .,(2) 求增量比，即求割线M0 M的斜率,其

3、中 是切线M0T与x轴正向的夹角。,用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建立数轴s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t), t0,T，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).,分三步来解决这一问题。,(1) 求增量,给t0一个增量 t，时间t0从变到t1 t0 t ，质点M从M0运动到M1 ，路程的增量为, s= f (t1) f (t0) = f (t0 t) f (t0),(2) 求增量比，即求 t内的平均速度,当 t 很小时，可把质点在 t间隔内的运动近似看成匀速运动（以不变代变），则 t内的平均速度,2 求变速直线运动的瞬时速度,(3) 求极限,

4、当 t 越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速度v0 ，于是当 时，平均速度的极限就是瞬时速度v0 ，即,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线方程:,法线方程:,机动

5、目录 上页 下页 返回 结束,在点,的某个右 邻域内,左右导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义2 . 设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理. 函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.1.2、 函数的可导性与连续性的

6、关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,而,因左右极限不等，故极限 不存在， 即函数在点 x0没有导数。,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 y

7、= loga x ( a 0, a 1)，则,于是,所以,即,特别当 a = e 时，我们有,例4. 对数函数的导数,例4. 求函数,的导数.,解:,即,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,是否可按下述方法作:,例5. 设,存在, 求极限,解: 原式,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,

8、是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等

9、.,莱布尼兹(1646 716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2. 设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导

10、法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的运算法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2.1 四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),推论:,机动 目录 上页

11、下页 返回 结束,( C为常数 ),2.2.1 四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例2

12、. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 设,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,2.2.2复合函数求导法则（链式法则）,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关

13、键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2.3隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求由方程,在

14、 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,2.2.4 取对数求导法,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求下列导数:,解: (1),(2),例9. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两

15、边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,例4. 设, 且,求,已知,解:,解:,注意 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2.5 基本初等函数的导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

16、2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,求,解:,例11.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内 容 小 结,求导公式及求导法则,注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,机动 目录

17、 上页 下页 返回 结束,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.2.6高阶导数,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导

18、数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 . 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下

19、页 返回 结束,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求,解：,2. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,2.4,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,2.4.1 微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录

20、 上页 下页 返回 结束,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机

21、动 目录 上页 下页 返回 结束,2.4.2微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.4.3 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说

22、明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,2.4.4 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,例5. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面

23、的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.4.5 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6

24、. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(mm),内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 导数和微分的概念及应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数和微分的求法,导数与微分,第二章,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,机动 目录 上页 下页 返