第二章 直 线.ppt

1、第二章直线,洛阳理工学院 浮海梅,2-1 直线的投影,直线的投影一般情形下仍为直线。,确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两点的投影，即可连成直线的投影。,2-2 直线上的点,一、直线上的点,直线上的点具有两个特性：,1、从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K 点在直线 AB 上,【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,k,k,a,b,k,K点不在直线AB上,O,【例题2】判断点K是否在直线A

2、B上。,2、定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之 比。 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b,例2-1 已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EKKF =34。 解：,二、直线的迹点,直线与投影面的交点称为直线的迹点。直线与H面的交点叫水平迹点，记作M;它与V面的交点叫正面迹点，记作N;它与W面的交点叫侧面迹点，记作S。 根据直线与投影面的倾斜状态的不同，它可能有一个、两个、三个迹点。,直线经过迹点到了投影面的另一侧，进到了另一分角或卦角。,迹点投影的两个特征：,（1）迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；,（2）迹点的其他投影必在直线

3、的相应投影与投影轴的相交处。,直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角或卦角内，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、负号相同。,1）延长ab，使之与X 轴交于点m； 2）由m引X 轴的垂线，与ab的延长线交于m ； 3）延长ab，使其与X 轴交于点n ； 4）由n 引X 轴的垂线，与ab的延长线交于n。,直线迹点的求法及直线在空间的走向,1、直线迹点的求法,直线侧面迹点S的求法,2、判断直线在空间的走向,在M与N之间各点的的y坐标和z坐标皆为正，直线MN段在第分角内。 点M以左各点的y坐标为正和z坐标为负，所以直线M点以左在第分角内。 点N以右各点的y坐标为负和z坐标为正，所以直线N点以

4、右在第分角内。,直线的各投影与投影轴的夹角一般都不反映直线的倾角，各投影也不反映线段的实长。,2-3 直线的倾角和直线段的实长,一、倾角和实长,空间直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。,直线段的真实长度称为实长，标为TL,对H面的倾角,对V面的倾角,对W面的倾角,点击2次,二、直角三角形法,求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。下图表示它的原理和作图过程。,例2-2 已知直线CD 的正面投影cd和点C 的水平投影c，且知直线CD 对H 面的倾角=30，求作线段CD 的H 面投影。,解：,直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。 知二求二:任何一个直角三

5、角形都可以找出四个条件, 只要知道其中两个条件,就能求出另外两个条件。 实长AB-H 投影长（ab) -Z 坐标差|zA-zB| - 角 实长AB-V 投影长（ab）-Y 坐标差|yA-yB| - 角 实长AB-W 投影长（ab）-X 坐标差|xA-xB| - 角,注意对应关系!,例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。,方法一,方法二,例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。,方法一,方法二,例已知线段AB25mm及其投影ab和a，试求该线段的V 投影ab。,解： 利用ab和AB25mm，确定A、B两点的高标差bB1，从而求出b(有两解) ，或利用Y和AB25mm，确定ab的长度，求

6、出b 。,Y,ab,ab,ab,投影面平行线,投影面垂直线,一般位置直线（任意倾斜直线）,铅垂线 正垂线 侧垂线,水平线 正平线 侧平线,2-4 各种位置直线的投影,一、直线与投影面的相对位置,这里的“位置” 是指直线在投影面体系中对于投影面的放置状态，并非指直线对投影面的远近、高低等线性度量关系。,投影面垂直线的投影特征:,二、各种类型直线的投影特征,投影面垂直线和投影平行线，统称为特殊位置直线。,在所垂直的投影面上积聚成一点，其他两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映线段的实长。,=90 M 有 倾角 = 0 迹点 N 无 = 0 S 无,铅 垂 线 （H）,正 垂 线 （V）,=0 M 无

7、 倾角 =90 迹点 N 有 =0 S 无,=0 M 无 倾角 =0 迹点 N 无 =90 S 有,侧 垂 线 （W）,在所平行的投影面上反映实长，并且反映与其他两个投影 面的真实倾角，其他两个投影平行于相应的投影轴（同时垂直 于第三条投影轴）。,投影面平行线的投影特征：,abOX 轴，长度缩短 ab倾斜，反映实长、和角 abOYW 轴，长度缩短,投影特征,水 平 线 （H）,=0 M 无 倾角 有 迹点 N 有 有 S 有,投影特征,有 M 有 倾角 =0 迹点 N 无 有 S 有,正 平 线 （V）,ab 倾斜，反映实长、和角 ab OX 轴，长度缩短 abOZ 轴，长度缩短,ab OZ轴

8、，长度缩短 ab OYH轴，长度缩短 ab 倾斜，反映实长、和角,投影特征,侧 平 线 （W）,有 M 有 倾角 = 0 迹点 N 有 有 S 无,任意倾斜直线的投影特征：,三个投影都是缩短了的倾斜线段。,AB、BC为水平线；AC为侧垂线； SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线 。,AB为正平线； AC为正垂线； AD为铅垂线 。,两直线的 相对位置,两直线交叉,两直线相交,两直线平行,2-5 两直线的相对位置,反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都各自保持平行关系，则空间两直线平行。,一、两直线平行,空间平行的两直线，其所有的同面投影都各自保持平行关系。,只要有一组同面投影不平行，空间两

9、直线就不平行。,注意：一般情况下，只要检查两组同面投影就能判断出两直线是否平行。对于平行于同一投影面的两直线，则需要求出它们在该投影面上的投影，或根据两直线共面、定比等关系才能进行判断。,例：判断图中两条直线是否平行,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,例 过点E（e、e)作直线EFAB 。,X,a,b,a,b,e,e,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,二、两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且

10、交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,在右图中，因AB是侧平线，察看侧面投影，ab和c虽然相交，但该交点与k的连线与Z 轴不垂直，故此两直线不相交。,若只凭V、H 两投影来判断，则需看简单比(abk)与(abk) 是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。,例2-3 试判断两直线AB 和CD 是否相交。 解：,各投影的交点不符合点的投影规律，所以两直线不相交。,例2-4 已知平行两直线AB、CD，试作一直线KL与AB、CD 都相交，且该直线距H 面为10。 解：,X,a,c,k,b,d,k,c,b,d,a,例 已知直线CD与AB相交，完成其水平投影。,三、两直线交错,同面投

11、影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。,交点是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,若两直线既不平行又不相交，则它们是相错直线。,交叉两直线可能会有一组或两组同面投影互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行。,1(2),3(4 ),投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,三、两直线交错,若两直线既不平行又不相交，则它们是交错直线。,交叉两直线可能会有一组或两组同面投影互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行。,判断重

12、影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,判断两直线重影点的可见性,例题 判断两直线重影点的可见性,两直线交叉,【例题8】判断两直线的相对位置（方法一）,1,=1d,=1c,两直线交叉,例题 判断两直线的相对位置(方法二）,2-6 一边平行于投影面的直角的投影,当相交两直线平行于同一投影面时，则它们在该投影面上的投影，反映两直线夹角的真实大小。而当它们都是任意倾斜状态时，两直线间的夹角通常情况下不能在其投影上如实反映出来。,对于互相垂直的二直线，只要其中之一平行于某个投影面，那么，它们在那个投影面上的投影就反映垂直关系。 逆

13、定理也成立。,直角投影法则:,点击1次,证明：ABH， ABBb 又 ABBC， ABBbcC 又 abAB， abBbcC , abbc 即 abc=90,直角投影法则不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交错垂直的两直线。下面都是符合直角投影法则的投影图。,例2-6 试补全矩形ABCD的两面投影图。 解：,例2-7 已知点A和水平线BC的投影，试求点A至直线BC的距离。,解：,TL,【例题】求点K到直线AB的距离 。,【例题】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,【例题】已知正方形A

14、BCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。,a,f,e,e,f,a,b,c,d,b,d,c,o,o,=XAO,XAO,半对角线长,【例题】求两直线AB、CD之间的距离。,n,m,m,两交叉线间距离,例题 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,例题9 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB =23。,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,e,e,e,e,c,c,例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,作辅助投影的目的：辅助投影或者它能表明形体的真实形状、大小，或者它能简化某些空间几何问题的求解。,为求直线的辅助投影，只需求出直线上两个点的辅助投影，将它们连接起来就得到了直线的辅助投影。,2-7 直线的辅助投影,设置辅助投影面的原则是：辅助投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面，且使辅助投影有利于解决预定的问题。辅助投影面的设置在投影图上表现为如何选择辅助投影轴。,例2-8 求任意倾斜线段AB 的实长及水平倾角。,例2-9 求点C 到正平线AB 的距离。,解：当AB 的投影