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1、1.5 多项式的分解,在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是，除了平凡因式外，,还有没有其他的因式？,定义1.5.1,等价定义：,在数域F上可约。,由定义可得：, 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质1,性质2,则,证：设,证：,由性质2，,推论：,二、因式分解,问题：,是否可分解为,不可约多项式的乘积？,定理1.5.1：,证（归纳法）：,n=1时，命题显然

2、成立。,假设命题对一切小于n的多项式成立，则当,时，,多项式的乘积。,问题：,则,定理1.5.2：,中任一个次数大于零的多项式,分解成不可约多项式的乘积：,成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两,个分解式：,则有 r=s；,）,证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：,当r=1时，结论显然成立。,由归纳假设知，这时有r-1=s-1。,故r=s，且,三、标准（典型）分解式,故,首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，,首项系数,每个多项式的标准分解式是唯一的。,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项,式是否整除另一个多项式。,利用多项式的标准分解式可以直接写出,例如：,则,解：,即有 。,例1.5.2：,求,在,上的标准分解式。,解：

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