弹性系统的二维和三维振动分析.ppt

1、第二篇 连续系统的线性振动,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,薄膜变形后，其势能的增加可借薄膜表面积的增大与均匀拉力的乘积来得到：,9-1 膜的振动,一、薄膜的变形势能,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,三、运动微分方程：,二、薄膜的动能：,薄膜所受的横向荷载 ：,四、自由振动方程：,设解：,，得特征方程：,FT为截面单位长度上的均匀拉力, m为薄膜单位面积上的质量,运动微分方程,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,9.1.1 矩形薄膜,薄膜在矩形边界上的挠度 w = 0，设解：,代入特征方程得固有频率：,薄

2、膜振动的一般解：,根据薄膜的初始条件或所受的动荷载，并应用振型函数的正交性条件，可以容易地求出系统的自由振动或受迫振动响应。,9.1.1 矩形薄膜,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,矩形薄膜的模态振型,当m=n=1时，得四边固定膜的基频和相应振型函数:,高阶频率与振型:,矩形薄膜的模态振型,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,对于方膜，有f12=f21，并存在组合模态：,图9.1.2 矩形薄膜的振型,(a)：Y12=0，W=W21；,(b)：Y21=0，W=W12；,(c)：组合模态，Y12=Y21；,(d)：组合模态，Y12=Y21；,方膜的组合模态,第9章 弹性系统的二维和三维振动分

3、析,9.1.2 圆形薄膜,柱坐标系下的运动方程：,设解：,其中：,代入方程得：,9.1.2 圆形薄膜,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,薄膜自由振动的解,整理得整数贝塞尔(Bessel)方程,其中：,整数贝塞尔方程的解为:,根据第二类贝塞尔函数的性质：,为使解在膜的圆心处为有限值：,故得圆形薄膜自由振动的解：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,图9.1.3 圆形薄膜的振型,圆膜的振型,当r=a时，圆膜周边固定，即：,频率方程：,Jn(x)的零点即为圆膜的固有频率，振型见下图。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,表9.1.1 Jn(x)的零点,表9.1.1 Jn(x)的零点,其中n表

4、示圆膜的节线数，S 表示圆膜的节圆数。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,9-2 薄板的横向振动,9-2 薄板的横向振动,忽略剪切变形，采用直法线假设，位移函数可取为：,应变分量：,图9.2.1 矩形薄板及其坐标系,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,薄板内力计算过程,1. 由弹性力学平面应变问题的物理方程得到相应的应力分量x、y和xy ；,2. 代入三维弹性力学平衡方程可解出两个横向剪应力xz和yz ;,3. 应力分量沿厚度方向积分得 x 和 y 两个方向横截面上的弯矩、扭矩和剪力；,薄板内力计算过程：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,薄板内力计算公式,薄板内力计算公式：,图9.

5、2.1 薄板截面上的内力,其中:,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第二篇 连续系统的线性振动,薄板的边界条件，以x=0边为例:,简支边：,固支边：,自由边：,弯矩和等效剪力的边界条件写成：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,运动微分方程,薄板横向振动时的动能和弯曲变形的势能:,其中h为单位面积上的质量。,假设板上表面受法向荷载 q (x, y , t )的作用，根据哈密顿原理可以得到以下的运动微分方程:,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,9.2.1 矩形板的自由振动,9.2.1 矩形板的自由振动,令q(x, y, t)=0，设解w(x, y, t)=W(x,y)cos( t)，有

6、,或,式中，,， 2为拉普拉斯算子。,分离变量法求解，设：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,分离变量求解,如果满足条件：,即:,则:,Y(y)由y方向两条边的边界条件求出。,一般情况下，上面的方程不能进行变量分离，只有满足一定的条件才可以。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,变量分离的条件,类似地，另一个平行的能够使变量分离的条件是：,下列两种边界，矩形板才能够采用分离变量法求解：,(1) X = 0, a 两端简支时，取：,(2) y = 0, b 两端简支时，取：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,四边简支矩形板,四边简支矩形板，设解：,满足下列简支边的所有边界条件：,代入自

7、由振动的运动微分方程得：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,四边简支矩形板动挠度,由振型函数的正交性可得：,即：,相应的振型函数：,板作弯曲振动时的动挠度可按振型函数展开为：,Ymn(t)为广义坐标，自由振动时由初始条件确定，受迫振动时由外荷载确定。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,对边简支，另对边任意支承板,x=0, a两端简支 , y=0, b两端任意支承矩形板，设解：,代入自由振动的运动微分方程得：,时，上式的解为：,式中，,m和m为特征值，由y=0, b两端的边界条件确定。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,例9.2.1,例9.2.1 三边简支，y = 0, b 固支的矩

8、形板，求自由振动的频率方程。,根据下列边界条件:,得频率方程:,即:,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,例9.2.1(续),根据边界条件类似可得频率方程:,用牛顿法或其它数值方法解频率方程，可得对应于每个m的一系列频率参数值k。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,9.2.2 矩形板的受迫振动,9.2.2 矩形板的受迫振动,受迫振动的运动方程:,满足边界条件的固有振型函数满足 :,归一化振型函数的正交性条件 :,设解：,代入运动方程得:,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,受迫振动解答,两边同乘以Ws(x,y) ,在板面内积分，由正交条件得:,等效激振力:,模态坐标的初始条件及其通解:

9、,截面的动弯矩和动剪力:,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,例9.2.2,例9.2.2 四边简支矩形板在(x0,y0)处受集中力:,假设板的初位移和初速度均为零，求板的动位移，并求板中心位置处的弯矩。,解：归一化后板的振型函数为,设解:,等效激振力:,式中，M= Aab 为薄板的总质量。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,例9.2.2（续1）,由方程:,解出Ymn(t)，得最后解答：,其中：,板的中心处在两个方向上截面的动弯矩分别为：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,单位脉冲响应函数,若所受的集中力为单位脉冲：,则有：,求出的动响应称为单位脉冲响应函数：,容易发现，脉冲响应函数满

10、足关系：,这就是位移互等定理。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,9.2.3 圆板的自由振动,9.2.3 圆板的自由振动,圆板自由振动方程：,根据分离变量法，设解：,可以得到下列两组方程，其中为特征值：,由方向的周期性条件知：,第一个方程变为：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,圆板的解,（1）k2前取正号时，为实宗量贝塞尔方程，其解为：,（2）k2前取负号时，为虚宗量贝塞尔方程，其解为：,Jn(kr)和Nn(kr)分别为第一类和第二类贝塞尔函数。,In(kr)和Kn(kr)为修正的第一类和第二类贝塞尔函数。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,频率方程,一般解为：,当r0时， Nn

11、(kr) 和Kn(kr)都趋于无穷， 故有：,于是得最终的解答 ：,根据边界条件来建立频率方程。当圆板周边固定时：,频率方程为：,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第二篇 连续系统的线性振动,周边简支时，边界条件为：,周边自由时，边界条件为：,其中弯矩Mr和等效剪力 Vr分别为：,对于几种常见边界条件下圆板频率方程的零点，表9.2.1给出了前几阶振型所对应的ka值。,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,表9.2.1 几种边界条件下圆板频率方程零点,表9.2.1 几种边界条件下圆板频率方程零点的ka( =0.3),第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第二篇 连续系统的线性振动,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第二篇 连续系统的线性振动,第9章 弹性系统的二维和三维振动分析,第二篇