4曲杆和三铰拱.ppt

1、,结构力学,一、拱定义： 通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。,二、特点： (1)在竖向荷载作用下，产生支座水平反力。 (2)由于水平支座推力的存在，拱截面上的弯矩远比代梁上相应截面的弯矩小。 (3)在拱内产生代梁所不存在的轴力（对截面产生压应力），使得拱截面上的应力分布比梁截面要均匀些，故节省材料。 (4)由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能良好、而抗拉性能较差的材料来建造。 （5）构造复杂，施工费用高。,第4章 曲杆和三铰拱,三、拱的种类：,四、拱各部分的名称：,41概述 一.三铰拱的基本形式 （一）无拉杆的三铰拱 1.平拱 两个拱脚铰在同一水平线 2.

2、斜拱两个拱脚铰不在同一水平线上 （二）有拉杆的三铰拱（弓弦拱）,二. 三铰拱的组成 拱轴线抛物线、圆弧线和悬链线等 起拱线拱脚铰A、B之间的连线 拉杆AB(代替B支座的水平支撑链杆的作用) 拱脚铰（拱趾）A、B 拱顶铰C 拱高（矢高）f 拱跨度L 高跨比（矢跨比）fL,三. 三铰拱受力的基本特点 1. 无拉杆的三铰拱 在竖向荷载作用下，除产生竖向支座反力VA、VB外，还 产生水平支座反力（推力）HA、HB。水平支座反力对拱截面 产生负弯矩（上侧受拉），从而使得三铰拱截面上的内力弯矩 小于荷载和跨度相同的相应简支梁上各对应截面上的弯矩值， 省材料，空间跨度大，但比梁需要更为坚固的基础或支承结构。

3、,2. 有拉杆的三铰拱（弓弦拱） 有拉杆的三铰拱能使基础不受水平推力作用， 但影响建筑空间，故常采取提高拉杆的位置或采取别 的形式（图42）。,四. 拱与曲梁的区别 左图所示的曲梁在竖向荷载作用向下，只产生竖向 支座反力VA、VB ， 水平支座反力HA0 而右图所示的有拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下，除了产生 竖向支座反力VA、VB外，还会产生水平支座反力（推力）HA、HB。, 42 曲杆的内力计算 例题41 求图45a所示圆弧形曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标表示B截面的位置，取图45c所示BC部分隔离体， 设B截面的内力分别为M、V、N, 参照图45b并考虑到ds=Rd, 由平衡

4、条件得 MB=0 M=S qdsRsin（） =qR20sin(-）d=qR2（1cos) 式 (4-1),Y=0 VS qds cos（） qR0cos（）d=qRsin 式（42） X=0 N-S qds sin（） qR0sin（）d= - qR（1cos) 式（43） 因为qds sinqdy,qds cos=qdx（图46a),故可将图45a 所示的径向均布荷载q分解成图46b所示的沿水平方向及竖向作用的 均布荷载q。 由此计算B截面所得M、V、N结果同式（41）、（42）（43）。,例题42 求图47a所示圆弧曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标表示B截面的位置，设B截面的

5、内力分别为M、V、N 取图47c所示隔离体，参照图47b并考虑到ds=Rd, 由平衡条件得 MB=0 M=S qds（RsinRsin）=qR20（sin-sin）d =qR2（sin 1cos) 式 (44) Y=0 V=S qds cosqRcos0 d= qRcos 式（45） X=0 N=-S qds sinqR sin0d= -qRsin 式（46）,4.3三铰拱的支座反力和内力计算,一、拱的内力计算原理仍然是截面法。,二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。,三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。,四、三铰拱计算公式

6、的建立,1、支座反力计算,2、弯矩计算,3、剪力计算,4、轴力计算,五. 斜拱的支座反力和内力计算 连接A、B，先将A和B处的支座 反力分别沿竖向和起拱线方向分解 为两个相互斜交的分力V A和 HA和 V B 和H B 。 根据上述平衡条件可得： V AV 0A， V B V 0B HAH BHM 0C/ f 然后再沿水平和竖向分解， 从而得到斜拱支座的水平支座反力 和竖向支座反力： HHAHBHcos =M 0C/ f 式(4-20) VA =V OA + H tan 式 (4-21) VB =VBO H tan 式(4-22) 任意截面D的弯矩为： MD= MD0 - H .yD 式(4-

7、23) VD=V 0Dcos D H sinD (1- tan/ tanD ) 式(4-24) ND=V0Dsin D + H cosD (1+tantanD ) 式(4-25),例题4-4： 求图示三铰拱的支座反力， 并绘制弯矩图、剪力和轴力图。 已知拱轴方程为 y = （4f / L2 ) x(L-x) 解：1.求支座反力 由式（4-13）及（4-14）， 可得 VA = Pibi/L = 481216+16416 = 28kN VB=Piai/L = 48416+161216 = 20kN HA = HB = H = MOC/ f = （288 - 484）4 = 24kN,2. 计算内

8、力 将拱轴沿水平方向分成若干等分，求出各分点截面的内力后， 就可绘制内力图。（分成八等分） （1）计算x=4时截面2的内力，由拱轴方程，可得 y2=（4 f / L2 ）x ( L-x) = （ 44162 ）4(16-4) = 3m tan2 = dy/dx = 4 f / L2(L- 2x) = （44162 )(16-24) = 0.5 所以226034，sin2 = 0.447,cos2 = 0.894 由式（4-17）（4-18）（4-19）可得截面2的弯矩、剪力、轴力分别为 M2 = M02-H .Y2 = (284 - 442)-243 = 8kN.m V2 = V02cos2-

9、 Hsin2 =(28-44)0.894-240.447 = 0 N2 = V02sin2- Hcos2 =(28-44)0.447+240.894 =26.8kN,（2） 求X = 12m时截面6的内力。由拱轴方程，可得： y6=（4f /L2 ) x(L-x) = （44162 ) 12(16-12) = 3m tan6 = dy/dx = 4f / L2(L-2x) = （44162 ) (16 - 212) = - 0.5 所以 6 = - 26034，sin6 = - 0.447, cos 6 = 0.894 M6 = M06-H.y6 = 204 - 243 = 8kN.m 因截面

10、6处有集中荷载P = 16KN， 该截面左右两侧的剪力和轴力会发生 变化。根据（4-18）（4-19）可得： V6左= V06左cos6-Hsin6 = - 40.894-24（-0.447） = 7.15kN N6左= V06左sin6+Hcos6 = - 4（-0.447）+240.894=23.24kN V6右= V06右cos6-Hsin6 = -200.894-24（-0.447） = -7.15kN N6右= V06右sin6+Hcos6 = (-20)（-0.447）+240.894=30.4kN,（3）其他截面内力 可列表进行计算（表4-1）。 3.绘制内力图,第4章,例4-1

11、 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为,解： （1）计算支座反力,（2）计算各截面内力,第4章,截面1,第4章,其它截面的内力计算同上。,截面2,44 三铰拱的压力线及合理拱轴的概念,1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、QK、NK。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。,第4章,2、压力线的绘制：,第4章,3、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于

12、零即可确定合理拱轴。,(3)、合理拱轴线的确定,由弯矩公式有：,一. 竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的一般表达式 由式（4-23）可知，在竖向荷载作用下，三铰拱任意截面 的弯矩计算公式为： MM0H.y 当拱轴为合理拱轴时，MM0H.y = 0,于是可得合理拱轴方程y为 ： y = M0/ H 式(4-29) 该式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标 y与代梁 弯矩图的纵标成正比。在已知的纵向荷载作用下，将代梁的弯矩方程 除以常数H，可得合理拱轴方程。 某一合理拱轴只是相当于某一确定的固定荷载而言的，当荷载的布置 改变时，合理拱轴方程也就相应的改变。 只有在三个铰的位置确定的情况下，

13、水平推力H才是一个确定的常数，这时才有唯一的合理拱轴形式。,二. 三铰拱在满跨竖向均布荷载q作用下的合理拱轴 设坐标原点在支座A处，代梁的弯矩方程为 Mo=qLx/2-qx2/2=（qx/2）(L-x) 拱的水平推力H为： HMCO / f =qL2/ 8 f 合理拱轴方程为： y = M 0/ H=（qx/2）(L-x) /（qL2/8f）=4fx(L-x) / L2 式（430） 上式表明，在满跨竖向均布荷载作用下的合理拱轴为一抛物线， 它与 矢高f或矢跨比f / L有关，具有不同矢跨比的一组抛物线均为合 理拱轴。,三. 三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴 设填料荷载密度为：qx=qc+

14、y 拱脚处的的荷载集度： qk=qc+f 因qx 是变量，故弯矩 M0也无法确定 将（4-29） y = M0/H对x微分两次，得： 当y轴向上时 d2y/dx2=d2M0/Hdx2 当y轴向下时，d2y/dx2=d2M0 / Hdx2 因qx向下时为正，d2M0/dx2 qx, 于是有 d2y/dx2=qx/ H 式（431） 上式就是三铰拱在竖向荷载作用下的合理拱轴微分方程，将 qx=qc+y代入上式得： d2y/dx2 y/H=qc/H 式（432） y=Achx/H + B sh x/H qc / 上式中的两个常数A、B可由边界条件确定如下： 在x=0处，y=0, 得Aqc / 在x=0处，dy/dx=0, 得B = 0 则有合理拱轴方程为：y =