圆锥曲线复习3综合问题

1、圆锥曲线复习（三）圆锥曲线的综合应用 借助直线与双曲线的位置关系求斜率的取自范围，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.对范围、最值问题的考查是近几年高考试题的热点之一，范围、最值问题的考查形式很多，灵活多变. 圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法

2、及导数法求解解决圆锥曲线中的取值范围问题的五方面考虑：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 圆锥曲线中的定点、定值问题是一种常见的解答题，它几乎涵盖了解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，对运算和思维能力都有要求，因此备受高考命题者的青睐.解题策略是“大处着眼，

3、小处着手”，从整体上把握问题给出的信息，借助函数与方程、数形结合以及分类研究与化归思想，巧妙利用巧设点、设而不求、联立方程组、韦达定理、巧用定义、代点相减等手段，使问题得以解决.例1、抛物线yx2到直线2xy4距离最近的点的坐标是()A(，) B(1，1) C(，) D(2，4)【解析】选B.设P(x，y)为抛物线yx2上任意一点， 则P到直线的距离 d， x1时，d取最小值，此时P(1，1)【变式】(2014高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(

4、1，0)为焦点，x1为准线的抛物线，其方程为y24x.设过点 (1，0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.机器人 接触不到该直线，(2k24)24k40，k21.k1或k1.例2、如图所示，已知椭圆，点是椭圆的左顶点直线与相切于点.（1）求椭圆的方程；（2）若的切线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围.【解析】（1）在上，. 又是的切线，即，解得. 椭圆的方程为. （2）设直线，则. 联立方程组，消去得：. 设，则 ， 当且仅当时“=”成立.【变式】设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过

5、定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围【解析】(1)由已知得，F1(，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则y21，且2x2.所以(x，y)(x，y)x23y2x231x22，当x0，即P(0，1)时，()min2；当x2，即P(2，0)时，()max1.(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在即x1x2y1y20，即x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，解得k24，所以k24， 即k(2，)(，2)例3、已知经过椭圆的右焦点做垂直于轴的直线，交椭圆

6、于两点，是椭圆的左焦点.(1) 求的周长；(2) 如果不垂直于轴，的周长有变化吗？【变式】已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆上任意一点，且的最大值为.（）求椭圆的离心率；（）已知椭圆的上顶点为，动直线与椭圆交于不同的两点，且，证明：动直线过定点，并求出该定点坐标. 设 由，得， ， 由得： 即， 将韦达定理代入化简可得： 所以动直线的方程为：，即直线恒过定点例4、已知椭圆长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1 （1）求椭圆的标准方程；（2）若、是椭圆的左右端点，为原点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交 轴于、，问是否为定值，说明理由 令 ，得： 故 为定值. 【

7、变式】如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线AM、BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A、B两个不同的点.（1）求点M到其准线的距离；（2）求证：直线AB的斜率为定值.（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为， 设直线MA的方程为： 直线AM、BM的斜率互为相反数 直线MA的方程为： 同理可得： 直线AB的斜率为定值圆锥曲线复习（三）圆锥曲线的综合应用1、若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为 【分析与点评】抛物线的准线方程是什么？是双曲线的哪条准线和它重合？反应到数上可以得到什么？即2、若双曲线的一条准线恰好是圆的一条切线，则实数的值等于_.（若此变式引导学生提出更好！

8、）3、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 答案：【分析与点评】：由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,4、若椭圆的弦被点（4,2）平分，则此弦所在直线的斜率为 .【分析与点评】用什么形式设出此弦所在直线的方程？需注意什么？（斜率是否存在的讨论）直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧运用“点差法”解决弦的中点问题:涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率注重一题多解，对方法进行比较，用“点差法”计算量较

9、小，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验，否则会出错5、已知双曲线C：2x2y22与点P(1,2)(1)求过P(1,2)的直线的斜率k的取值范围，使与C分别有一个交点，两个交点，没有交点；(2)是否存在过P点的弦AB，使AB的中点为P?答案：这样的弦存在，方程为yx1.【变式】：本例条件中将“点P(1,2)”改为“点Q(1,1)”，问以点Q为中点的弦是否存在？答案：使Q为中点的弦不存在.6已知椭圆1(a0，b0)的左焦点F为圆x2y22x0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：为定

10、值注意：按步骤填空(1)解化圆的标准方程为(x1)2y21，则圆心为(1,0)，半径r1，所以椭圆的半焦距c1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为1，所以ac1，即a，则b2a2c21，故所求椭圆的方程为y21.(2)证明当直线l与x轴垂直时，l的方程为x1.可求得A，B.此时，.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1y2x1x2(x1x2)2k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k22.所以，综上得为定值，且定值为.7、已知椭圆C：，其右焦点

11、，离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围2. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编1 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t（0，1求M的轨迹方程，并说明曲线的类型【解析】设M（x，y），则 (x0)，(x0)，=-t， =-t(x0)，整理得1(x0)（1）当t（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）改编2 已知点的坐标分别是、,直线相交于点,且它们的斜率之积为. 求点轨迹的方程.【解析】设，则，整理得：.

12、改编3 设椭圆的左、右顶点分别为,，点在椭圆上且异于,两点，为坐标原点若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.【解析】拓展：椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积；椭圆上任一点与椭圆上关于原点对称的两点的连线的斜率之积.（记忆方法：无论椭圆焦点在哪个轴，总是以椭圆方程中的分母为分母）由拓展，知 改编4 椭圆斜率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【解析】由拓展，知选B改编5 已知椭圆上一点,过点的直线与椭圆分别交于（不同于）且它们的斜率满足，则直线过定点_.【解析】由拓展，关于原点对称，即直线过定点.改编6 如图，若为椭圆的右顶点，直线、交直线于两点，则的最小值为 【答案】. 改编7 已知直线yx与椭圆C：交于两点，过点作斜率为k的直线l1直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x4的交点为Q，过Q点作直线的垂线l2求证：直线l2恒过一定点 【解析】可求得，且关于原点对称，由拓展知，又,而l1：，则l2；即令则恒过定点【例9】【上海市五校2015届高三上学期联合教学质量调研】已知椭圆长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1 （1）求椭圆的标准方程；（2）若、是椭圆的左右端点，为原点，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交 轴于、，问是否为定值，说明理由 令