多维随机变量及其分布.ppt

1、第三章 多维随机向量及其分布,二维随机向量及其分布 随机向量的独立性 二维随机向量函数的分布,3.1 二维随机向量及其分布,将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机向量。,一、 二维随机向量,1.定义 设随机试验的样本空间为 为样本点，而 是定义在S上的两个随机变量，称（X,Y）为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,设(X, Y)是

2、二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F (x, y)=P ( X x) (Y y)记为P X x, Y y为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,二.二维随机变量的联合分布函数,几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),分布函数F(x, y)具有如下性质：,且,(1) 对任意(

3、x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2).,(3)右连续 对任意xR, yR,(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都 可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,FY(y) PYy =PX+ ，Y y F (+, y),边缘分布函数

4、,FX(x) PXx PXx，Y + =F (x, +),分别称为二维随机变量(X, Y)关于X 和Y的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,例1 已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,三.二维离散型随机变量联合分布律,若二维随机向量(X, Y)只能取至多可列个值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机向量（变量）。 若二维离散型随机向量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, ) 为二维离散型随机向量(X, Y)的分布律，或随机变

5、量X与Y的联合分布律.可记为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,二维离散型随机向量的分布律也可列表表示如下:,(1) pij 0 , i, j1, 2, ； (2),联合分布律的性质,边缘分布律,PY yjpj ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。,若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi Y yj pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,例 2 已知(X,Y)的分布律为 xy10 11/103/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。,故关于X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/5,解：,例3 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。,X,Y,1 0,1 0,例4 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求（X,Y）的联合分布