第3章机械能和功.ppt

1、一、功,功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。单位为J （焦耳）。,变力的功：,恒力的功：,3.1 功 质点动能定理,直角坐标系：,自然坐标系：,与参考系无关，位移与参考系有关，故 W与参考系有关。,1. 一般情况下，功与力和路程有关,说明,S,S,W与参考系有关。,一辆汽车在水平道路上以 速度沿直线匀速行驶, 汽车内水平地板上有一只盒子,乘客用水平推力 推着盒子相对地板以 速度向前移动，求在 t 时间内人做的功,小车坐标系S,地面坐标系S,力与盒子相对于汽车的位移的点乘,力与盒子相对于地面的位移的点乘,4. 平均功率,瞬时功率,单位 W(瓦特)=J/s,3. 合力的功等于

2、各分力的功的代数和。,解：,变力,恒力 曲线运动,例3-1 小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。,二、质点的动能定理,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,总功：,元功：,切线方向的分力,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,说明,3. 应用：,1. 合外力的功是动能变化的量度。,与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。,2.,4. 微分形式：,例3-2 质量 m 长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上, 另一部分从桌面边缘下垂, 下垂部分长 b ，假定开始时链条静止

3、，求链条全部离开桌面瞬间的速度。,解法一,建立如图坐标系Ox，设x为某时刻下垂链条长度。由动能定理,dx,设T为链条下垂部分和在桌面上的链条部分间的相互作用力，由牛顿定律得,解法二,解法三 也可由机械能守恒定律计算。,b,O,l-b,例3-3 一根均匀的柔软的物体（长度为L）以初速v0 送上平台，物体前端在平台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数为 ，且 s ，求初速度v0 。,解：,由动能定理：,例3-4 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为 h 和 l ，与物体的摩擦系数均为。 试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大?,(1)

4、,解：,元功,N,mg,(2),(3),最大,(1),END,N,mg,最小,N,mg,N,mg,在自然坐标系中：,N,mg,它由与瞬间速度矢相切的t轴和垂直于速度矢指向曲线的凹侧的n轴构成,一、力场,力矢量在空间的分布形象反映了力场。,3.2 保守力 非保守力 耗散力,一般地，,二、几种常见力的功,1. 重力的功,重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路程无关。,2. 万有引力的功,设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。,万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路程无关。,3. 弹性力的功,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的

5、路程无关。,4. 回旋力的功,：为横向单位矢量,路程1： 圆弧ab,W= 0,回旋力做功与路程有关！,路程2：,回旋力：,*圆周运动*,角速度,角加速度,回旋力,离心力,5. 摩擦力的功,a,b,摩擦力做功与路程有关！,桌面俯视图,三、保守力 非保守力 和耗散力,保守力：,作功与路程无关，只与始末位置有关的力。,保守力沿任何闭合路程作功等于零。,作功不仅与始末位置有关，还与路程有关的。,如：重力，引力，弹性力等。,如：摩擦力，回旋力等。,非保守力：,而(一对)摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力。,有心力：,有心力一定是保守力。,判据,如： 引力,静电力,解：,(1),0,0,0,(2) 非保守

6、力，因为做功与路程有关。,取任意路程ABCDA,为保守力。,为非保守力。,解：,取矩形路程EFGHE,END,一、势能的引入,与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。,保守力的功是势能变化的量度：,物体在保守力场中a，b两点的势能Epa， Epb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Wab。,保守力的功等于系统势能的减少。,3.3 质点在保守力场中的势能,弹性势能,重力势能,引力势能,如：,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。,势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。,势能是相互作用有保守力的系统的属性。,说明,设空

7、间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：,例3-6 轻弹簧原长l0 ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0 ，现取x 轴向下为正，如果原点分别位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若分别取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。,解：,(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：,(2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：,任意位置 x 处的系统总势能：,二、保守力与势能的关系,1. 积分关系,2. 微分关系,偏导数,矢量式：,称梯度算符。,例3-7 已知势能函数， 求保守力

8、。,解：,利用梯度算符在球坐标系中的表达式得：,三、势能曲线,双原子分子的势能曲线：,例3-8 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。,解：,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。,一、质点系 内力与外力,3.4 质点系的势能,势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个系统，称相互作用势能。与系统内的一对保守内力做功有关。,系统内，内力是成对出现的。,二、内力的功,相对元位移,一对内力的功：,相对位矢,1. 系统内一对内力的功一般不为零,说明,考虑斜面和滑块间的一对摩擦力的作功情况。,说明：“

9、系统内一对内力的功不一定为零”。,2. 一对内力做功之和与所选的参考系无关,与参考系无关，,一对摩擦力做功: Wf = - f l (地面系，木块系，子弹系),一对内力做功之和与所选的参考系无关！,例如：,三、相互作用势能,一对保守内力,因此，在计算一对内力作功时，可选其中一个物体为参考系，以另一物体的相对位移为准求内力做功。,一对内力作功：,四、多质点系统的势能,END,其中 为质点 i 和 j 之间的相互作用势能。,一、质点系的动能定理,3.5 功能原理 能量守恒定律,设第 i 个质点所受外力的功为 ，内力的功为 , 初速度为 , 末速度为 。,外力对质点系做的总功。,内力对质点系做的总功

10、。,质点系的动能定理： 所有外力和内力对系统所作的功之和等于系统总动能的增量。,质点系的末态总动能。,质点系的初态总动能。,例3-11 光滑水平面上放有质量为m1的沙箱， 由左方飞来质量为m2的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱中前进 l 距离后停止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带着弹丸以匀速 v 运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻力F；(2) 弹丸初速v0 ；(3) 沙箱-弹丸系统损失的机械能。,(2) 对弹丸，应用动能定理：,(1) 对沙箱, 应用动能定理：,解：,(3) 机械能变化：,一对非保守内力(耗散力)做负功，使系统动能减少。,二、功能原理,保守内力的总功,非保守内力

11、的总功,内力的总功,质点系的功能原理： 质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。,1. 明确系统及初、末状态。,2. 适用于惯性系。,3.,机械能守恒定律,与参考系无关, 而,与参考系有关。,在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。,系统中的动能和势能可以转换, 各质点间的机械能也可以互换, 但保持系统的总机械能不变。,说明,若,4. 对孤立系统,若,能量转换和守恒定律,其他形式的能量转化为机械能。,机械能转化为其他形式的能量。,则：,例3-13 已知铁链质量m，长 l ，与桌面摩擦系数为 。问： (1) a 为多少时铁链开始下滑? (2) 金属链全部离开桌面时 v 为多少?,解：,(1),(2) 摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点,下垂部分重力 等于摩擦力时,利用功能原理，以桌面为零势能点：,例3-14 计算第一、第二宇宙速度。,一、第一宇宙速度 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为