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文档简介

1、线性空间引论,Department of Mathematics, College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,线 性 空 间 与 线 性 映 射,第 一 章,已知：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？,线性相关,线性无关,向量组的秩记为：,向量组的秩,定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 ,使得: 中的任意一个向量 都可以由 线性表出,即:,一，线性空间的基,注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯

2、一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。,例4. 在4维线性空间 中，向量组,与向量组,是其两组基，求向量 在这两组基 下的坐标。,解：设向量 在第一组基下的坐标为,于是可得 解得,同样可解出在第二组基下的坐标为,1，若 是 维线性空间 的基,则:,2, 如果对于任意的 ,均可以在 中找到 个 线性无关的向量,则称 是无限维的线性空间,3, 无限维的线性空间是存在的,2.基变换与坐标变换 设 （旧的）与 （新的） 是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,将上式矩阵化可以得到下面的关系式： 称 阶方阵,定理：过渡矩阵 是可逆的。,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成,A,称上式为坐标变换公式。,定理: 任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，且过渡矩 阵为 , 那么我们有：,与向量组,例1 在4维线性空间 中， 向量组:,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。 解：计算出下面的矩阵表达式：,向量 第一组基下的坐标为 利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,解答,就是W1 的一组基.,故W2不是Fn的子空间.,其次，,下证W3是Pn的子空间.,即的一切线性组合所成集合.,比

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