(继2011年)线代第1次课第一章1,2,3,4节.ppt

1、,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,优点: 1.解好记. 2.给出了判别二元一次方程组(1)是否有解的方法, 即从原方程组系数行列式来直接看 3.解用公式表达,看出解与系数,常数的依赖关系.,例1,解,课堂练习,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负

2、号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,课堂练习,解,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例3 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,故方程组有解.,故方程组的解为:,例3,解,方程左端,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,得,分析三阶行列式,特点：,（1）三阶行列式共有 项，即 项的代数和,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,第二节 全排列及逆

3、序数 一.全排列定义:n个不同自然数组成一个有序数组,称这n个数为一个全排列,或称为一个n元排列. 例如: 321是1,2,3的一个三元排列. 796是6,7,9的一个三元排列. 最简单的5元排列 12345(按自然顺序排成) 称为5元自然序排列.(也称5元标准序排列).,二.逆序:大数在小数前组成一个逆序. 例:排列31542, 其中31称为组成一个逆序. 另外32, 54, 52, 42, 都是逆序. 三.排列的逆序数: 一个排列中逆序的总数称为 该排列的逆序数.用t表示. 例.排列31542的逆序数 记作 t(31542)=5. (排列的逆序数是由其中每一个元素所引起的逆序数相加得到),

4、如何求逆序数? 方法一. 可以在排列的每个元素下边写上该元素所产生 的逆序个数,然后相加得到逆序数. 例如: 求21543的逆序数. 即 t(21543)=4. 方法二. 从1开始,看它前面有几个比它大的数. (即产生几个逆序) 再看2,看它前面有几个比它大的数. 再看3,看它前面有几个比它大的数. 例:t(21543)=1+0+2+1=4.,例1:自然序排列123 n的逆序数t(123 n)=0. 例2:计算n元排列n-1,n-2,3,2,1,n的逆序数 t(n-1,n-2,3,2,1,n)=?,例2:计算n元排列n-1,n-2,3,2,1,n的逆序数 t(n-1,n-2,3,2,1,n)

5、=(n-2)+(n-3)+(n-4)+ +2+1 =,例3:计算 2,4,6, ,2n,1,3,5, ,2n-1的逆序数.,例3:计算2,4,6, ,2n,1,3,5, ,2n-1的逆序数. 分析:与1构成逆序的有2,4,6, ,2n. 共n个. 与3构成逆序的有4,6, ,2n. 共n-1个. 与5构成逆序的有6, ,2n. 共n-2个. 与2n-1构成逆序的只有2n. 只有1个. 解: t(2,4,6, ,2n,1,3,5, ,2n-1) =n+(n-1)+(n-2)+ +2+1=,四.排列的奇偶性. 逆序数是奇数的排列叫奇排列. 如:31542是奇排列. (逆序数5是奇数). 逆序数是偶

6、数的排列叫偶排列. 如:21543是偶排列. (逆序数4是偶数). 自然序排列123 n称为偶排列. 逆序数是0,第四节 对换 一:对换:把一个排列中某两个元素互换位置. 其余元素不动,称此变换叫一个对换. 二.定理1.对换改变排列的奇偶性. 即:如果原来是奇排列,对换一次后变成偶排列. 如果原来是偶排列,对换一次后变成奇排列. (证明见书P.8) 对换次数就是排列的奇偶性变化次数.,推论: 奇排列变成标准序排列的对换次数为奇数. 偶排列变成标准序排列的对换次数为偶数. 因为标准序排列是偶排列, t(123 n)=0,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项的代数和,

7、（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,312是偶排列,132是奇排列,三阶行列式的定义,二、n阶行列式的定义,定义,n阶行列式的定义,说明,2、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,3、 阶行列式是 项的代数和;,4、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,5、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,1、 的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,否则这个项为零，,所以 只能等于 ,同理

8、可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,依行列式定义,证毕,例3 用行列式的定义计算,解,1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,各项的正负号当行标按自然序排列由列标排列的逆序数决定.,三、小结,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,本次课总结,一.全排列:把 n个不同的元素排成一列叫做 这 n个元素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示， 且,一全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数,二.逆序数,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,方法2,方法1,分别计算出排在 前面比它大的 数码之和，即分别算出 这 个元素 的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数,三.计算排列逆序数的方法,定义,在