三角形的内角.pptx

1、第十一章三角形,11.2.1 三角形的内角,教学目标,2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）,1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.（重点）,3.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）,4.掌握直角三角形的判定.（难点）,5.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）,新课导入,我的形状最小，那我的内角和最小.,我的形状最大，那我的内角和最大.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.,一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.,情境引入,新课导入,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等

2、于180，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.,思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,新课导入,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.,一、三角形的内角和定理的证明,新知探究,验证结论,三角形三个内角的和等于180.,求证：A+B+C=180.,已知：ABC.,证法1：过点A作lBC， B=1. (两直线平行,内错角相等) C=

3、2. (两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180， B+C+BAC=180.,1,2,新知探究,证法2：延长BC到D，过点C作CEBA， A=1 . (两直线平行，内错角相等) B=2. (两直线平行，同位角相等) 又1+2+ACB=180， A+B+ACB=180.,E,D,新知探究,E,D,F,证法3：过D作DEAC,作DFAB. C=EDB,B=FDC. (两直线平行，同位角相等) A+AED=180, AED+EDF=180， (两直线平行，同旁内角相补) A=EDF. EDB+EDF+FDC=180， A+B+C=180.,想一想：同学们还有其他的方法吗？,新知探究,思考：多

4、种方法证明三角形内角和等于180的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.,1,2,新知探究,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.,思路总结,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.,作辅助线,新知探究,例1 如图，在ABC中， BAC=40 , B=75 , AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,解：由BAC=40 , AD是ABC的角平分线，得,BAD= BAC=20 .,在ABD中， ADB=180-B-BAD =180-75-20 =85.

5、,二、三角形的内角和定理的运用,新知探究,【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，A50，B70， 求EDC，BDC的度数,解：A50，B70， ACB180AB60. CD是ACB的平分线， BCD ACB30. DEBC， EDCBCD30， 在BDC中，BDC180BBCD=80.,新知探究,例2 如图，在ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC 于F.已知A30，FCD80，求D.,解：DEAB，FEA90 在AEF中，FEA90，A30， AFE180FEAA60. 又CFDAFE， CFD60. 在CDF中，CFD60，FCD80， D180CFDFCD40

6、.,新知探究,基本图形,由三角形的内角和定理易得A+B=C+D.,由三角形的内角和定理易得1+2=3+4.,总结归纳,新知探究,例3 在ABC 中， A 的度数是B 的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.,解: 设B为x，则A为(3x)， C为(x 15)， 从而有,3x x (x 15) 180.,解得 x 33.,所以 3x 99 ， x 15 48.,答： A， B， C的度数分别为99， 33， 48.,几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.,新知探究,【变式题】在ABC中，A B ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的平分线，求DCE的度数,解析：根据已知条

7、件用A表示出B和ACB，利用三角形的内角和求 出A，再求出ACB，ACD，最后根据角平分线的定义求出ACE， 即可求得DCE的度数,比例关系可考虑用方程思想求角度.,新知探究,解：A B ACB， 设Ax，B2x，ACB3x. ABACB180， x2x3x180，得x30， A30，ACB90. CD是ABC的高，ADC90， ACD180903060. CE是ACB的平分线， ACE 9045， DCEACDACE604515.,新知探究,在ABC中，A :B:C=1:2:3，则ABC是_三角形 .,练一练：,在ABC中，A=35， B=43 ，则 C= .,在ABC中， A= B+10,

8、 C= A + 10, 则A= ， B= ， C= .,102,直角,60,50,70,新知探究,例4 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80 方向，C岛在B岛的北偏西40 方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角ACB是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.,新知探究,解： CAB= BAD- CAD=80 -50=30.,由AD/BE,得BAD+ ABE=180 .,所以ABE=180 - BAD=180-80 =100,ABC= ABE- EBC=100 -40=60.,在ABC中， ACB=180 - ABC- CAB =18

9、0-60-30 =90.,答：从B岛看A,C两岛的视角ABC是60 ,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.,新知探究,【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在A岛的南偏东15方向，C岛在B岛的北偏东80方向，求从C岛看A，B两岛的视角ACB的度数.,解：如图， 由题意得BEAD,BAD=40， CAD=15，EBC=80， EBA=BAD=40， BAC=40+15=55, CBA=EBC-EBA=80-40=40， ACB=180-BAC-ABC =180-55-40=85,D,E,新知探究,问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?,问题引导,三、直角三角

10、形的两个锐角互余,新知探究,问题2：如图，在RtABC中， C=90，两锐角的和等于多少呢？,在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，得A +B+C=90,即 A +B=90.,思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,新知探究,直角三角形的两个锐角互余,应用格式： 在RtABC 中， C =90， A +B =90,直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC 可以写成RtABC ,总结归纳,新知探究,方法一（利用平行的判定和性质）： B=C=90， ABCD， A=D. 方法二（利用直角三角形的性质）： B=C=90， A+AOB=90，D+COD

11、=90. AOB=COD， A=D.,例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，A 与D有什么关系？,图,典例精析,新知探究,解：A=C.理由如下： B=D=90， A+AOB=90，C+COD=90. AOB=COD， A=C.,（2）如图，B=D=90，AD交BC于点O，A与 C有什么关系？请说明理由.,图,与图有哪些共同点与不同点？,新知探究,例2 如图， C=D=90 ,AD，BC相交于点E. CAE与DBE有什么关系？为什么？,解：在RtACE中， CAE=90 - AEC.,在RtBDE中, DBE=90 - BED., AEC= BED， CAE= DBE.,新知探究,解：

12、CDAB于D，BEAC于E BEA=BDF=90， ABE+A=90， ABE+DFB=90. A=DFB. DFB+BFC=180， A+BFC=180.,【变式题】如图，ABC中，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于F，A与BFC又有什么关系？为什么？,新知探究,思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？,基本图形,A=C,A=D,总结归纳,新知探究,问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？,如图，在ABC中， A +B=90 ， 那么ABC是直角三角形吗？,在ABC中，因为 A +B +C=180， 又A +B=90，所以C=90. 于是ABC是直角三角形.,四、有两

13、个角互余的三角形是直角三角形,新知探究,A,B,C,应用格式： 在ABC 中， A +B =90， ABC 是直角三角形,有两个角互余的三角形是直角三角形.,总结归纳,新知探究,典例精析,例3 如图，C=90 , 1= 2，ADE是直角三角形吗？为什么？,解：是.理由：在RtABC中， 2+ A=90 ., 1= 2, 1 + A=90 .,即ADE是直角三角形.,新知探究,例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是直角三角形吗？为什么？,解：ABD是直角三角形.理由如下： CEAD， CED=90， C+D=90， A=C， A+D=90， ABD是直角三角形.,课堂小结,三角形的 内

14、角和定理,证明,了解添加辅助线的方法及其目的,内容,三角形内角和等于180 ,直角三角形的性质与判定,性质,直角三角形的两个锐角互余,判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,课堂小测,1.求出下列各图中的x值,x=70,x=60,x=30,x=50,课堂小测,2.如图，则1+2+3+4=_ .,280 ,课堂小测,3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,A+ADE=180，B=78，C=60，求EDC的度数,解：A+ADE=180， ABDE， CED=B=78 又C=60， EDC=180-（CED+C） =180-（78+60） =42,课堂小测,4.如图，在ABC中，B=42，C=78，AD平分BAC 求ADC的度数.,解：B=42，C=78， BAC=180-B-C=60. AD平分BAC， CAD= BAC=30， ADC=180-C-CAD=72.,课堂小测,5.如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，若BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60， ABC+ACB=120 BP平分ABC，CP平分ACB， PBC+PCB= （ABC+ACB）=60 PBC