3.4生活中的优化问题举例

1、3.4 生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,问题1:海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xdm,则宽为,此时四周空白面积为,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上

2、下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,解：设版心的高为xcm,则宽为,此时四周空白面积为：,求导数，有,解得，x=16 (x=-16舍去）,因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。,所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。,答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。,练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润 有影响吗?,你是否注意过,市场上等量的小包装

3、的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?,问题情景二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.,（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶

4、饮料的利润为：,知识背景,令,解：,由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,令,因此，当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。,（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；,（2）半径为6时，利润最大。,练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?,x,h,解 设箱底边长为 x,则箱高为,箱子容积为,由,解得 x1=

5、0 (舍), x2=40.,x,h,解 设箱底边长为 x,箱子容积为,由,解得 x1=0 (舍), x2=40.,当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.,函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.,答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3,2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.,说明,1、设出变量找出函数关系式；,(所说区间的也适用于开区间或无穷区间),确定出定义域；,所得结果符合问题的实际意义,练习3:某种圆柱形的饮料罐

6、的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?,解:,存储量=磁道数每磁道的比特数.,设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。,由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：,(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r