数二 - 基本知识点

1、数基本知识点德兰潘2017年8月11日目录第一章界限4一、定理4二、重要界限4三、等价无穷小4六、求积分和极限4四、皮亚诺侑项泰勒展开4第二章一元函数微分5一、函数微分5二、微分算法5三、基本微分式5四、可变限制积分求导5五、n阶导数5六、残奥仪表方程导数5七、隐函数求导法则、幂指函数求导法则5八、反函数的一次、二次求导5九、单调、极值、凹凸、拐点5十、渐近线5十一、曲率六十三、泰勒定理6十四、极限与无穷小的关系6十五、附属六第三章一元函数积分7一、定理7二、基本积分式7三、基本积分方法7四、重要的异常积分7五、定积分的应用7第四章多元函数微分8另一方面，如果存在limxx0yy0fx、y，则

2、fx、y在这一点上是8连续的。二、求重极限的方法8三、微性讨论8四、复合函数微分8五、高阶偏导8六、隐函数的推导8七、二元函数极值的充分条件8八、条件极值、拉格朗日乘法8九、二重积分8十、柯西积分不等式10第五章常微分方程11一、一阶微分方程式11二、可降阶高阶微分方程11三、高阶常系数微分方程11第一章行列式12一、侑子式代数侑子式12二、一些重要公式12三、抽象n阶正方矩阵行列式12第二章矩阵12一、算法12二、特殊矩阵12三、可逆矩阵12四、排名13第三章矢量13一、线性表达、线性相关、极大线性无关组13二、施密特正交化13三、正交矩阵13第四章线性方程14一、克拉默定律14二次线性方程

3、，基础解系14三、非齐次线性方程，解结构14第五章特征量、特征向量、类似矩阵14一、特征量、特征向量14二、相似矩阵14三、实对称矩阵15四、矩阵、特征量、特征向量15五、判断a是否象对角15第六章二次型15一、二次型15二、标准类型15三、规范型15四、二次型为标准型，标准型15五、合同16六、惯性定理16七、实对称矩阵a、b合同的充分条件16八、正定16九、正定阵的性质16后述17第一章界限一、定理夹着定理，单调地讲道理二、重要界限1.limx0sinxx=12.limx01 x1x=eLiMnnn=14.limx0 xin xk=0limxxke -x=1三、等价无穷小x0时：一、单一到

4、x、二、煤炭到x、3、2个1-cosx到12个四、ex-1x至x五合一x至x6、1 x- 1至- x七、arcsinxx至x八、亚历山大至x9、x-1至新10、XM xk至XM、(km0)一、二、三、四、五、罗必达定律六、求积分和极限LiMnun=LiMn1 ni=1nfin=01 fxdx一、二、三、四、皮亚诺侑项泰勒展开1、ex=1 x 12！ x2 1n！ xn Oxn战斗机sinx=x-13！ x3 -1n2n 1！ x2n 1 Ox2n 2防火墙cosx=1-12！ x2 -1n2n！ x2n 1型战舰四合一x=x-x 22 x 33-1合一x5、1 xm=1 mx mm-12！ x

5、 2毫米- 1米- n1n！ xn Oxn战斗机第二章一元函数微分一、函数微分dy=Ax ox=Adx ox二、微分算法1、uv=uv2、uv=uvuv三、Cu=Cu4、uv=uv-uvv2三、基本微分公式一、C=0二、x=x-13、x=新合金4、ex=ex5、日志x=1xina六、cosx=-sinx七、sinx=cosx八、cotx=-cscx29、两个坦克=秒10、secx=secx坦克11、cscx=-cscxcotx十二、arcsinx=11-x2十三、arccosx=-11-x214、arctanx=11 x215、arccotx=-11 x2四、可变限制积分的推导数码相机=f2x

6、2 x-f1x1 x五、n阶导数1、uvn=unvn二、uvn=unvcn1un-1v1卡通- kvkuvn六、残奥仪表方程导数yx=ytxtyxx=yxtxt=xtytt-xttytxt3七、求隐函数导数的法则、求幂指函数导数的法则八、反函数的一次、二次求导dxdy=1dydx=1fxy=-fxfx3九、单调、极值、凹凸、拐点十、渐近线水平渐近线： limxfx=b垂直渐近线： limxx0fx=b斜渐近线： limxx0fxx=a、limxx0fx-ax=b11、曲率k=|y|1 y232R=1k=1 y232|y|十二、定理费马定理(驻点)、洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。十三

7、、泰勒定理fx=fx0 fx01！ x-x 0飞机！ x-x 02战斗机！ x-x 0机动战士十四、极限与无穷小的关系limxx0fx=Afx=A x，其中limxx0x=0十五、附件麦克劳林公式：fx=f0 f01！ x f02战斗机x2 fn0n！ 数码宝贝x0=0泰勒公式：fx=fx0 fx01！ x-x 0飞机！ x-x 02战斗机！ x-x 0机动战士n=0拉格朗日侑项：Rnx=fn 1n 1！ x-x0n 1机动战士fx=fx0 f1x-x0fx-fx0=fx-x0拉格朗日中值定理n=1皮亚诺侑项：Rn=Ox-x0n机动战士fx=fx0 fx01x-x0 Ox-x0机型fx-fx0

8、=fx0x-x0 Ox-x0y=fx0xox-x0机型增量和微分的关系式第三章一元函数积分一、定理1 .定积分的存在定理2 .原函数的存在定理3 .积分中值定理abfxdx=fb-a二、基本积分公式一、xdx=1 1x 1 C2，1 xdx=英寸c3、xdx=新型c四、exdx=ex C五、新xdx=-cosx c六、cosx dx=sinx C七、谭xdx=-in cosx c八、cot xdx=新宿c9、sec xdx=英特尔坦克c十、cscxdx=Incscx-cotx C十一、sec2xdx=坦克c十二、csc2xdx=-cotx C13、12 x2dx=1变量c14、12-x2dx=

9、12合金x- x c15、12-x2dx=arcsinx C16、1x22dx=Inx x22 C三、基本积分方法1 .凑微分法2 .交换积分法包含a2-x2，命令x=asint包含x2 a2，命令x=atant包括x2-a2，命令x=asect3 .部分积分法4 .利用被积函数的奇数性5、分解积分四、重要的异常积分- e-x2dx=20 e-x2dx=五、定积分的应用1 .平面图形的面积A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=122d2 .平面曲线的弧长S=abxt2 yt2dt直升机S=ab1 yx2dxS=2 2d3 .旋转体的体积V=aby2xdxV=aby22x-y1

10、2xdxV=2abxy2x-y1xdx4 .旋转曲面面积S=2ab|y|1 f2xdxS=2ab|yt|xt2 yt2dt第四章多元函数微分另一方面，如果存在limxx0yy0fx、y，则fx、y在该点上是连续的。二、求重极限的方法1 .利用极限性、四则运算、夹杂标准等2、去掉分母中的零因子，有理化、等效无穷小等3 .转换成一元函数求极限4、利用无限小乘以有节量也是无限小三、微观讨论1、可微调查是否同时存在fxx0，y0和fyx0，y0。b )考察limx0y0fx0x、y0-fxx0、y0-fxx0、y0xfyx0、y0yx2y2=0成立与否。2、微观的必要条件：微观一定能导向，不能导向的不

11、一定是微观。3 .可微的充分条件：有连续一次偏导函数必定可微。四、复合函数微分一元与多元的复合dzdt=dzdudtdzdvdvdt2 .多元和多元的复合zx=zuuxzvvx，zy=zuuyzvvy3、全微分形式不变dz=zxdxzydy=zuduzvdv五、高阶偏导2zx2=xzx=fxxx，y2zxy=yzx=fxyx，y2zyx=xzy=fyxx，y2zy2=yzy=fyyx，yfxyx，y与fyxx，y相等，顺序无关六、隐函数求导1 .利用公式a )一元： dydx=-FxFyb )二元： zx=-FxFz、zy=-FyFz2 .方程的两端分别求导数3 .微分形式不变，在方程的两端求

12、微分七、二元函数极值的充分条件在fxx0、y0=0以及fyx0、y0=0的情况下假设A=fxxx0、y0、B=fxyx0、y0、C=fyyx0、y0原则：AC-B20，取极值，A0是极小值，A0是极大值AC-B20、无极值AC-B2=0，不能确定八、条件极值、拉格朗日乘法1 .构建拉格朗日函数天空，天空，天空2 .解方程式fx=fxx=0fy=fyy=0F=x，y=0满足解的所有点都是可能的极值点九、二重积分1、性质a )比较定理b )评价定理c )中值定理2 .修正算法a )正交坐标系下的修正算法I .适合于先y后x的积分区域指数、yd=abdx1x2xfx、ydyii .适用于先x后y的积

13、分区域指数、yd=abdy1y2yfx、ydxb )极坐标下的修正算法I .极o在区域d之外特殊情况我们必须为此付出代价。ii .极o在区域d的边界上特殊情况即，角度0cos、角度diii .极o在区域d内部特殊情况即，02d0、sin、div .环域特殊情况即，=02d12fcos、sind3 .利用对称性和奇数性a )对称性I .如果积分域关于x或y对称ii .如果积分关于直线x=y对称fx，yd=fy，xd十、柯西积分不等式f(x)gxdx2f2xdx g2xdx第五章常微分方程一、一阶微分方程1 .可分离变量方程2 .一次方程式假设dydx=fyx、u=yx、y=uxdydx=u xdudx3 .线性方程y=Pxy=Qxy=e-PxdxQ(x)ePxdxdx C二、可降阶的高阶微分方程1 .重复积分，y(n)=f(x )2 .不是包含y的二次微分方程式假设y=fy、x、P=yy=dPdx，dPdx=f(P，x )不是包含3.x的二次微分方程式假设y=f(y，y )，P=yy=dpdx=dpdydx=ydpdy=pdpdy三、高阶常系数微分方程一次方程式： py qy=0a )解特征值：1、2。 2 p q=0I .有两个不同的实根y=C1e1x C2e2xii .有一对相等的实根y=C1 C2xexii