1.3.1单调性 (2).pptx

1、1.3.1 单调性,1.3 导数在研究函数中的应用,情境导学,以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小.但在函数yf(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.本节我们就来研究这个问题.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h(t)9.8t6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.,答(1)从起跳到最高点，h随t

2、的增加而增加，即h(t)是增函数，h(t)0； (2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h(t)0.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,答(1)在区间(，)内，y10，y是增函数； (2)在区间(，0)内，y2x0，y是增函数； (3)在区间(，)内，y3x20，y是增函数； (4)在区间(，0)，(0，)内，y 0，y是减函数.,小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a，b)内，

3、如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？ 答不一定.由思考2中(3)知f(x)0恒成立.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 答(1)不能用“”连结，只能用“，”或“和”字隔开.思考2中(4)的单调递减区间为(，0)，(0，). (2)函数的单

4、调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,例1已知导函数f(x)的下列信息： 当10； 当x4，或x1时，f(x)0； 当x4，或x1时，f(x)0. 试画出函数f(x)图象的大致形状.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,解当10，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x4，或x1时，f(x)0，可知f(x)在这两个区间内单调递减； 当x4，或x1时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.,探究点一 函数的单调性与导函数正

5、负的关系,反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,跟踪训练1函数yf(x)的图象如图所示，试画出导函数f(x)图象的大致形状.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,解f(x)图象的大致形状如下图： 注：图象形状不唯一.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,例2求下列函数的单调区间： (1)f(x)2x33x236x1； (2)f(x)sin xx(0x)； (3)f(x)3x22ln x； (4)f(x)3txx3.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,解(1)f(x

6、)6x26x36. 由f(x)0解得x2，,由f(x)0解得3x2， 故函数f(x)的单调递增区间是(，3)，(2，)； 单调递减区间是(3,2). (2)f(x)cos x10恒成立， 故函数f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,(3)函数的定义域为(0，)， f(x)6x 令f(x)0，即2 0， 解得 .,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,又x0，x . 令f(x)0，0x . 函数f(x)的单调递增区间为( ，)， 单调递减区间为(0， ).,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,(4)f(x)3t3x2. 令f(x)

7、0时，得3t3x20，即tx2， 当t0时，无解； 当t0时，函数f(x)的单调递增区间是 ， . 令f(x)0时，得3t3x20，即tx2， 当t0时，f(x)0恒成立，,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,函数f(x)的单调递减区间是(，)； 当t0时，函数f(x)的单调递减区间是(， ， ，). 综上所述，当t0时，函数f(x)的单调减区间是(，)，无单调增区间； 当t0时，函数f(x)的单调增区间是 ，单调减区间是,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤： (1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算

8、导数f(x)；(3)解f(x)0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0的区间为减区间.,跟踪训练2求下列函数的单调区间： (1)f(x)x2ln x；(2)f(x)x3x2x.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,解(1)函数f(x)的定义域为(0，). f(x)2x 由f(x)0得 ， 又x0，x ，,函数f(x)的单调递增区间为 由f(x)0，0x ， 函数f(x)的单调递减区间为.,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,(2)f(x)3x22x1 (3x1)(x1). 由f(x)0得x1； 由f(x)0得 x1， 故函数f(x)的单调递增区间为(，)和(1，)，单调

9、递减区间为( ，1).,探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,思考我们知道导数的符号反映函数yf(x)的增减情况，怎样反映函数yf(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？,答一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.,如图所示，函数yf(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，)或(，a)内的图象“平缓”.,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面

10、积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,解(1)B，(2)A，(3)D，(4)C.,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行.,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,跟踪训练3已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是_.(填图象对应的序号),探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,

11、解析从f(x)的图象可以看出，在区间 内，导数递增；在区间内，导数递减.即函数f(x)的图象在 内越来越陡，在 内越来越平缓.所以比较符合.,探究点二 函数的变化快慢与导数的关系,1.f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是_.(填图象对应的序号),解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当02时，f(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知正确.,答案,2.函数f(x)ln xax(a0)的单调增区间为_.,解析f(x)的定义域为x|x0， 由f(x) a0， 得0x.,3.函数f(x)ln(x2x2)的单调递减区间为 _.,(，1),解析f (x) ，令f (x)0得x1或 x2，注意到函数定义域为(，1)(2，)，故单调递减区间为(，1).,4.函数yx24xa的单调递增区间为_，单调递减区间为_.,(2，),解析y2x4，令y0，得x2； 令y0，得x2， 所以yx24xa的单调递增区间为(2，)， 单调递减区间为(，2).