北师大集对分析与不确定性.ppt

1、向北京师范大学师生学习致敬,晚上好,赵克勤 浙江大学非传统安全与和平发展中心 集对分析研究所，310058 诸暨市联系数学研究所 311811,集对分析与不确定性 Uncertainty and Set pair analysis,内容提要,1，三次数学危机引出的不确定性问题 2，联系数与集对分析的两个理论 3，一个新的起点,数学从危机中走来,先后经历了3次危机 横跨2000多年时空,第一部份,三次数学危机与 不确定性,第1次数学危机,公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“一切数均可表成整数或整数之比”。但他的一个学生考虑了如下问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？结果发现这一长度既不

2、能用整数也不能用分数表示，而只能用2表示，诞生了第一个无理数,也导致了人们认识上的危机，史称“第1次数学危机”。,第1次数学危机告诉我们：确定中有不确定,1,“有理”中有“无理”.,1,1,1,2,第1次数学危机告诉我们：确定中有不确定,请回答：问题,1，无理数可以称不确定数吗？ 2，为什么确定中有不确定？,第2次数学危机,十七世纪初，微积分诞生，当时的微积分理论建立在无穷小分析之上，但什么是无穷小，无穷小量是不是零？无穷小分析是否合理？谁也说不清，由此引起数学界长达100多年的争论， 直到19世纪初，一些数学家才致力于微积分严格基础的建立，这一争论，史称“第2次数学危机”。,第2次数学危机告

3、诉我们：,无穷小具有不确定性,请回答：问题,3，无穷小的不确定来自哪里？ 4，语言无懈可击？,第3次数学危机,十九世纪下半叶，德国数学家康托尔（Georg Cantor, 1845-1918）创立了集合论，开始时遭到许多人的攻击，但最终为大家所接受。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，集合论因而成为现代数学的基石。,罗素悖论,但在1903年，英国数学家罗素（bertrand russell ,1872-1970）构造了一个集合S：S由一切不是自身的元素所组成的集合。然后罗素问：S是否属于S？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于这个集合。因此，对于一个给定的

4、集合，问是否属于它自己是有意义的。就如我们问：我们自己是否属于自己？。,两难境地,对罗素问题的回答会陷入两难境地：如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S属于S，无论如何都自相矛盾。,罗素举了一个例子：理发师悖论,村上一个理发师贴出服务公告，宣称他为所有不为自己理发的人理发（设这些人组成集合A），那么，理发师自己的头该由谁理发？ 如果他不为自己理发，那么，理发师属于A；但这样一来，理发师就不能给自己理发了，也就不能属于A，那么，理发师自己的头究竞该由谁理发？,“羊群中也可能围进了狼”,罗素悖论的发现，说明了作为数学基础的集合论存在着矛盾，这个矛盾是如此的

5、显而易见，在构造一个集合时就存在于这个集合中，震动了当时的数学界，正如著名的法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854-1912）所坦言，“我们围住了一群羊，然而在羊群中也可能围进了狼” ，史称“第3次数学危机 ”。,100多年来,数学家们围绕集合论中的罗素悖论，开展了广泛的，长时期的激烈争论，纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔集合论的改造来排除悖论，形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义三大数学流派，促进了现代数学的发展。,哥德尔不完全性定理,美国数学家哥德尔(Kurt Gdel，19061978)于1931年给出证明：任何一个无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则

6、必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，在同一个包含初等算术的形式系统中，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的。,哥德尔不完全性定理与集对分析,哥德尔不完全性定理是集对分析不确定性系统理论的一个重要思想来源，也是在联系数中设置i的理论根据之一。,第3次数学危机告诉我们,事物的确定性与不确定性对立统一,请回答：问题,5，罗素悖论给我们哪些启示？ 6，理发师悖论中的不确定性如何处置？,请回答：问题,7，三次数学危机引出的共性问题是什么？ 8，三次数学危机给我们启示又有哪些？,如何客观地认识和处置确定性与不确定性的关系,是三次数学危机引出的共性问题,第1次数学危机的启

7、示是,确定（的关系）与不确定（的关系）是一个确定不确定系统，单位正方形就是这样的一个确定不确定系统。因为单位正方形的边长1是确定的，但这个正方形的对角线长2是一个无限不循环小数：一个不能确定的数，这一点让人不可思议。,第2次数学危机的启示是,当一个无穷小趋于零的时候，它的起始位置与极限位置构成一个集对，无穷小在趋于零的过程中，要经历与起始位置相同、相异、相反3个阶段，其中有量变，也有质变，在什么位置发生质变具有不确定性，需要具体分析。,起始,终极,同同同,同,异,反,x0,第3次数学危机的启示是,描述同一个客观事物需要2个集合 就如我们需要2只眼睛看东西、2个鼻孔嗅气味、2只耳朵听声音、2只手

8、干活、2条腿走路，而这是大自然的设计，也是罗素悖论给我们的启示。,如果有人问：集对分析从哪里来？,可以回答：集对分析从3次数学危机中来，是2000多年来人类探索不确定性的一个新思路。因为第1次数学危机意外地发现了确定中有不确定，2000多年后的第3次数学危机又无意中在“羊群”中围进了“狼” ，充分表明不确定性与确定性是天生的一对，历经2000多年风和雨，形影相随不分离.,第二部份,联系数 与集对分析的 两个理论,由罗素悖论导出“集对” ”（Set pair），,在罗素悖论中，如果用一个确定的集合A描述不能为自己理发的人，用另一个不确定的集合B描述理发师自己，再用AB i描述理发师的全部服务对象

9、（ i 表示不确定），虽然没有解决理发师由谁理发的问题，但避开了悖论，也客观地描述了理发师的全体服务对象，从而给罗素悖论和第3次数学危机一种全新的解读。这里的集A和集B是描述理发师的全部服务对象O（object）所需的两个集合，我们称之为“集对”（Set pair,SP），记为O（A，B）。,集对的定义：,集对就是描述同一个事物所需要的2个集合。这2个集合可以都是确定集，也可以都是不确定集，也可以1个是确定集，另1个是不确定集。（由两个不确定集组成的集对可解读说谎者悖论：“我在说的这句话是谎话”。）,什么是集对分析？,就是分析2个集合的确定性关系与不确定性关系及其这两类关系的联系与转化。,每个

10、人都是“集对人”，,我们的2只眼睛是一个集对、2个鼻孔是一个集对、2只耳朵是一个集对、2只手是一个集对、2条腿是一个集对，从这个意义上说，集对是一个天然的概念，我们每个人都是一个“集对人”.,每个人都在“集对分析”,集对分析是一种自然的分析，我们每个人都在“集对分析”.例如我们看到眼前，又看到长远；眼前是确定的，长远具有不确定性；我们需要物质，也需要精神；物质是确定的，精神具有不确定性；如此等等。,由罗素悖论导出二元联系数A+B i,在集对O=(A,B) 中，如果用A表示确定集A的基数，用B表示不确定集B的基数，用i表示不确定，且在1，1取值，就得到联系数u A+B i，显然，联系数u A+B

11、 i是关于对象集O的两个映射集合的联合函数，是罗素悖论的一个数学模型。同时也是集对O（A，B）的特征函数。 又由于u A+B i恰好含有2项，所以也称为二元联系数，简称联系数。,数值例子,设村上包括理发师在内共有100人，其中不能为自己理发的有99人，确定属于理发师的服务范围（A=99）；加上理发师1人不能确定是否属于理发师的服务范围（B=1），于是得联系数A+B i=99+1i，这个联系数的集对意义显然是关于“所有不为自己理发的人”这个对象集O的两个映射集合A（确定集）与B（不确定集）的基数之联系和。,二元联系数在罗素悖论中的应用,假设在罗素悖论中，一个人的理发价是1元钱，那么当理发师自己的

12、头由自己理时，共收入99+1i（i1） 100元；当理发师自己的头由别人理时，他的净收入是99+1i（i1）98元；由此看出，引进集对的概念和二元联系数uABi，使罗素悖论迎刃而解、而且解得自然、合理、简明和流利。,三元联系数,三元联系数U=A+Bi+Cj是集对分析的常用数学工具： 其中A是同关系个数（相对确定的测度），B是异关系个数（相对不确定的测度）、C是反关系个数（相对确定的测度），i表示不确定，在1，1取值。,三元联系数可以由罗素悖论导出,假定村子中原来只有理发师L1的基础上又来了一位新理发师L2，这样就有L1，L2共2位理发师，而村子中确定需要理发师们理发的总人数A不变，则由于2位理

13、发师在业务上相互竞争，势必把A分成A1(A10)与A2(A20) 2个部份，设A1是由L1理发的人数，A2是由L2理发的人数，站在理发师L1的角度，这时有联系数A1BiA2j, j在这里代表A2与A1对立之意。一眼看出：联系数A1BiA2j就是站在L1角度的同异反三元联系数.,多元联系数与罗素悖论,依此类推，可以把集对分析中的四元联系数、五元联系数n元联系数分别看作是村子中有3位理发师、4位理发师n1位理发师时站在L1角度建立起来的顾客服务模型。从而说明集对分析中的联系数（包括所谓的多元联系数）都可以从罗素悖论及其扩展形态导出。,联系数是一个大家族,从联系数U=A+Bi+Cj可以导出U=A+B

14、i(同异型联系数)， U=A+Cj（同反型联系数） ， UBi+Cj（异反型联系数），U=A+Bi+CjDk（四元联系数）， U=A+Bi+CjDkEl(五元联系数)等多元联系数，以及联系数的各种伴随函数，如偏联系数，邻联系数，态势函数，势函数，复联系数，2次联系数，多次联系数，多阶联系数等等。因此，联系数是一个大家族。,集对分析的理论之一：不确定性系统理论（UST）,联系数用数学的语言给出了一个基于集对分析的重要理论：不确定性系统理论（Uncertainty system theory based on set pair analysis）。要点（main points）有：,UST1：同一

15、对象的确定性关系与不确定性关系是一个不确定性系统,同一个研究对象相对于给定参考集的确定性测度a与不确定性测度b是一个不确定性系统,联系数a+bi既是这个 系统的数学模型，本身也是一个系统。在这个系统中，确定性测度与不确定性测度相互联系、相互影响、相互制约（a+b1 ，i1，1）而且在一定条件下相互转化。,UST2：不确定性系统具有层次性.,不确定性系统中的确定性与不确定性具有层次性. 在a+bi中，首先把a看作处在宏观层，bi处在微观层；当把a、b都看作处在宏观层时，i处在微观层；当对bi作分解时， bi处在宏观层，b1i1， b2i2， bnin处在微观层；由于i1，1，所以也可以把i看作处

16、在宏观层，i2， i3处在微观层；不仅如此，而且a也可以由不同层次的a1等a2， an组成。,UST-3：确定性与不确定性在一定条件下相互转化,不确定性系统中的确定性与不确定性可以在一定条件下相互转化. 例如在二元联系数a+bi中，通过对a的分解，分解出在多次观测分析中相对稳定的a1、a2；和相对不太稳定的an-1 、 an ，并计入b1i1， 而把b1i1， b2i2， bnin中的bnin标为cj (j=-1).,UST-4:确定性与不确定性相互作用,不确定性系统中的确定性测度a与不确定性测度b存在相互作用（物理原理）.相互作用值r的计算公式： r=(a2+b2)1/2 不确定性测度,b,

17、a,r,确定性测度X,UST-5：不确定性系统的省略性描述,只有在忽略不计不确定性的情况下, 才能用一个确定的实数a描述不确定性系统，如在= a + bi 中,只有不计bi 这个不确定的部份, 才能根据a 的大小、a 的变化、a的实际内涵作出分析和得到结果. 容易看出,由于这种分析是在忽略不计不确定性情况下进行, 所得到结果仍将具有一定程度的不确定性、不完整性与不可靠性.,UST-6： n 次不确定性;,把a + bi 自乘n 次, 将得到关于bi 的n次幂,这说明存在着一次不确定性、二次不确定性n 次不确定性; 同时也说明稍微复杂一点的不确定性系统是非线性系统。但由于它们相对于确定性而言都可

18、以看作是一次不确定性, 有时也可以在不计不确定性次幂的条件下有i = i2 = i3 = = in,UST-7：概率的不完全性,经典概率统计理论中的概率仅仅与联系数a+bi中的同一度a 等价，因而是一种不完全概率. 经典概率统计理论可以在集对分析的基础上进行扩充,目前这方面的工作还处在研究之中。,UST-8：模糊隶属度的不完全性,模糊集理论中的隶属度也仅与联系数中的同一度a 等价.它仅指明所研究的对象属于给定参考集的程度能够确定的一面,而忽略了所研究的对象属于给定参考集的程度不确定的一面. 因而是一种不完全隶属度;模糊集理论可以在集对分析的基础上进行扩充和发展.,UST-9：区间数可以转换为联

19、系数,区间数X=x -,x+可以转换成联系数X=a+bi，只要令 a（x - x+）/2 ， b x+ a i-1,1 利用i在-1,1的遍历性和不确定性，可以还原出区间数的遍历性和不确定性，并根据前面的确定性与不确定性相互作用原理（ust-4）,在区间数中找出相互作用点，研究表明，这个相互作用点对于区间数有相当的代表性。,UST10：联系熵,对n 个联系数a + bi 求熵, 得到同熵 anL n an 、异熵ibnL n bn 、由此说明熵 可以度量不确定性系统中相对明确的不确定性, 如异熵ibnL n bn ;也可以度量不确定性系统中相对确定性所具有的不确定性，如同熵anL n an 、

20、同熵和异熵也构成一个熵系统, 称之为联系熵。,UST-11：DU空间（ determinate uncertainty space）.,以确定性测度为横坐标X，以不确定性测度为纵坐标Y所构成的直角坐标系XOY所展示的空间，集对分析把这个二维空间称为DU空间,U,D,二维DU空间,UST-11：DU空间中的点、线、面,DU空间中的点是一条线段.见图示。由此推知DU空间中的线段将是一个平面。,U,D,(a1,b1),(a2,b2),DU空间中的点,UST-12：不确定量,数学是研究量的科学。联系数刻划的是什么性质的量？集对分析认为是一种不同于常量和变量的“不确定量”。这三种量的区别如表所示。,不确

21、定性系统理论主要参考文献,赵克勤，集对分析的不确定性系统理论在AI中的应用，智能系统学报，2006，1（2）：1623 （可以在智能系统学报网站（）免费下载），以及这篇文章之后的3篇论文（分别在智能系统学报2007年第5期，2008年第6期，2010年第1期）及其它有关文献。,同异反系统理论(IDCT)要点1,同异反系统是原象系统的一种抽象系统。 在罗素悖论中，L1，A，L2组成一个原象系统，具有同异反特性（ L1与L2 是竞争对手，A处于L1与L2 之间）；A1，B2，A2组成一个抽象系统。,同异反系统理论(IDCT)要点2,同异反系统具有层次性,层内可展开，层间可转化,同异反系统,同,异,

22、反,同中之同,同中之异,同中之反,异中之同,异中之异,异中之反,反中之同,反中之异,反中之反,同,异,反,同异反系统,同异反系统理论(IDCT)要点3,存在5种类型的“反”， 正负型：(1,-1)， 有无型：（1，0） 倒数型：（K，1/K）例：电阻与电导互为倒数 虚实型（i1/2 ， k） 互补型（a,1-a） 因而存在5 种类型的同异反系统.,同异反系统理论(IDCT)要点4,无限可分性 从理论上说,同异反系统具有无限可分性,如要点3中的同异反系统图可以无限制地不断展开。但实际同异反系统可能是有限的,原因是实际同异反系统存在“同、异、反”的“最小颗粒。,同异反系统理论(IDCT)要点5,叠

23、加性. 对N 个同异反系统作叠加、交叉、嵌套、加权等变换,所得的系统仍是同异反系统.,分形性. 同异反系统的每个子系统各自都可以分出“同、异、反”。,同异反系统理论(IDCT)要点6,同异反系统理论(IDCT)要点7,同异反系统状态及其态势,由联系数中同异反联系分量的大小关系刻划.也称为同异反态势函数。 对于展开后的同异反系统, 其同异反系统态势排序规模庞大。,同异反系统理论(IDCT)要点8,同异反系统是具有潜在发展趋势的系统,其发展趋势用一阶或多阶偏联系数刻划。 以u=a+bi+cj为例，其一阶偏联系数为 a = a/ ( a + b)， b= b/ ( b+ c)， u= a +( b

24、)i =a/ ( a + b)+i b/ ( b+ c),同异反系统理论(IDCT)要点9,利用同异反系统理论解不确定数i. 原理是：把同异反联系数从u(t0) 到u(t1)的改变看作是i的变化所至。,同异反系统理论(IDCT)要点10,设定目标，并采取适当的调控措施，使同异反系统得到优化，其特点是同时从确定和不确定方面优化。例如给定产品质量目标是合格品率（a）越大越好，则有两条路径，一是降低报废率（c）,二是分解不良品率（b）。,同异反系统理论(IDCT)要点10,同异反预测： 正常条件下的预测 异常条件下的预测 反常条件下的预测 或不同预测方法的同异反优化加权组合。,集对分析二大理论的核心

25、思想,把系统的不确定关系与确定的关系作为一个同异反不确定性系统来进行数学处理。,集对分析处理不确定性的16字诀,客观承认（设置i） 系统描述（用系统描述系统） 定量刻划 （联系数） 具体分析 （类型，主次，层次）,第三部份：,一个新的起点,数学的一个新起点,这是因为：集合论是现代数学的基础，集对分析把集合论提升为集对论，意味着数学有了一个新的起点。 例如前面提到的“不确定量”就是一种与常量、变量不同的一种新的量：联系数是描述这种“不确定量”，（ “不确定变量” ）的一种有效的数学工具。,不确定量与常量、变量的关系,层次 宏观 微观 例子 常量 (K) 确定 确定 1 变量（X） 不确定 确定

26、自由落体速度 不确定量（i) 确定 不确定 粒子的动量 超不确定量 不确定 不确定 随机不确定量,为概率论、模糊理论、区间数理论、复变函数、实变函数等,提供了共同的表达形式。,系统科学的一个新起点,因为集对恰好是由两个要素组成的一个元系统。集对理论客观上是系统科学的一种基础理论。,哲学的一个新起点,集对分析的第一篇论文是发表在1988年第10期自然辩证法报上的，赵克勤的自然辩证法有数学模型吗一文。表明集对分析为哲学研究，特别是自然辩证法提供了一种新的数学语言。,管理科学的一个新起点,管理科学是研究人与人之间关系的一门学科，而人与人之间关系除了一些可确定的关系（如母子关系、师生关系、同学关系）外

27、，还有不确定关系（如利益关系、往来关系等），以致于团队效应有和尚效应（三个和尚没水喝，“（111）3” ）之分，利用联系数ABi可以为不同的团队效应建立统一的数学模型36i.,集对分析与物理学关系密切,不确定量是基于测不准原理的一种量。 集对分析中的成对原理（“一个巴掌拍不响”）与玻尔的互补原理异曲同工。 UST中的确定性与不确定性相互作用原理与力的相互作用原理如出一辙。 三原色与同异反。 联系数与量子。 集对论中的相对论。 场论与集对分析中的联系场，等等。,如果说,宇宙起源于某个奇点的大爆炸 那么，集对这个新的起点给我们展示出一个新的广阔天地。,集对分析已广泛应用,据在中国知网学术文献库中用

28、关键词：集对分析，精确检索，已有1300多篇论文，其中博士硕士学位论文300多篇，被SCI、EI、MR检索论文100多篇。这当中，也有我们北师大师生所作的贡献，特别是杨晓华教授所作的贡献，在此向北师大师生，特别是杨晓华教授致以我的敬意。,发表集对分析论文的学术期刊有,中国科学、中国工程科学、气象学报、电子学报、 地理学报 、中国电机工程学报、自动化学报、兵工学报、水利学报工程设计学报、工程数学学报、生物数学学报、智能系统学报、作物学报、中西医结合学报、系统工程学报、铁道工程学报、飞机设计、系统工程与电子技术等300多家。,发表集对分析论文的大学学报有,浙江大学学报上海交通大学学报四川大学学报北

29、京航空航天大学学报北京体育大学学报北京工业大学学报 西安交通大学学报、哈尔滨工业大学学报、海军工程大学学报、空军工程大学学报、中山大学学报等160多家高校学报。,论文作者有,中科院院士，中国工程院院士，更多的是年轻科技人员和大专院校师生，包括浙大、清华、北大、复旦的博士和硕士研究生和他们的导师。,先哲有言：,地上本没有路， 走的人多了， 也就有了路。,已出版集对分析专著5本,赵克勤集对分析及其初步对应用浙江科技出版社，2000，2007 沈定珠体育用联系数学中国教学文化出版社，2008 王文圣等水文水资源集对分析科学出版社，2010 刘保相粗糙集对分析理论与决策科学出版社，2010 郭瑞林同异

30、育种理论与方法农业科学技术出版社，2011,赵克勤集对分析及其初步对应用浙江科技出版社，2000，2007,集对分析的第一本专著，需要此书的同学请到杨老师这里登记,王文圣等水文水资源集对分析，科学出版社，2010,出版集对分析论文集2本,赵克勤、曹鸿兴集对分析与界壳论的研究与应用气象出版社，2003 赵克勤、米虹非传统安全与集对分析知识产权出版社，2010,召开集对分析学术会议106,单独召开10次：1995苏州（第1次全国集对分析学术会议）1996吉林，1997赣州1998江西龙虎山，1999舟山，2000杭州，2001大连，2001年起与中国人工智能学会学术会同开；2008安阳，2009浙

31、大，2010上海.,2009年在浙江大学召开第9届集对分析年会，纪念集对分析提出20年，,同时成立了浙江大学非传统安全与和平发展中心集对分析研究所,集对分析联系数学联系科学,联系数学是以联系数为运算单位的数学，联系科学侧重于学科间的同异反研究。,集对分析,联系数学,联系科学,恰同学年少，风华正茂,集对分析提出到现在20多年，恰似在座各位，在学习、在成长、在发展，风华正茂。,让我们共同努力，携手创新,为21世纪的科学宝库增添我们中华民族的光辉，增添我们在座各位的光辉。,谢谢杨晓华教授,谢谢各位,问题简答,1无理数的不确定性表示 2无穷小与无穷大的不确定性,小概率后面的大补数存在不确定性,如果用0

32、P（A）minmin 1表示随机事件A发生的概率非常非常小，那么1 P（A）minmin就非常非常大，不妨记为1 P（A）minmin maxmax ，于是，按集对分析，事件A发生的全概率应当用联系数Pcn（A）表示， Pcn（A） P（A）minmin1 P（A）minmin i，当i取1时， Pcn（A）1，表明事件A发生；因此集对分析强调要高度关注小概率后面的大补数存在的不确定性，它随时都有可能把前面的小概率转化为1.,联系数化的概率是确定不确定的统一,根据概率论，随机事件A发生的概率P（A）体现出频率的稳定性，是对随机事件A的不确定性的确定性描述；根据集对分析，1 P（A）minmin

33、 i是对随机事件A不确定性的不确定性描述，因此Pcn（A） P（A）minmin1 P（A）minmin i是对随机事件A发生与否的确定不确定双重描述，也就是用2个集合描述了同1个事件。联系数化后的概率客观地、全面地反映出随机不确定的本质。它提醒人们，对于随机事件，千万不要被“小概率原理”所迷惑，唯如此，我们的驾驶员才能坚持安全第1，我们的政府决策者才会对地震的预防高度重视。,借此机会,请允许我代表中国人工智能学会集对分析联系数学专业筹备委员会和到会的全体集对分析学人，向多年来深入系统研究和应用集对分析理论并取得卓著成绩的学者们致敬，向多年来一如暨往大力支持集对分析联系数学事业不断克服困难、不断推向前进的志士同仁和有关部门致敬；特别是要向全力资助本次会议的浙江大学非传统安全与和平发展中心，向中心主任、博士生导师余潇枫教授致以崇高的敬意和衷心的感谢，向辛劳于这次会务的陈立影老师和中心的其它老师致以崇高的敬意和衷心的感谢。,期望我们,加强联系，因为联系是创新之源； 共同努力，争取下一个20年成为集对分析联系数学辉煌的20年。,主要参考文献,1赵克勤，集对分析及其初步应用M，浙江科技出版社，2007年第2次印刷 2赵