2.1.2椭圆的简单几何性质

1、椭圆的简单几何性质,复习：,1.椭圆的定义:,平面内，到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点,椭圆有四个顶点（a，0）、（0，b） 线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a， a叫做椭圆的长半轴长 线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b， b叫做椭圆的短半轴长,O,x,F1,F2,A2,B1,B2,y,A1,(-a,0),(a,0),(0,b),(0,-b),为椭圆的焦距, 为椭圆的半焦距,-axa, -

2、byb 知 椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中,2、范围：,3、椭圆的对称性,对称性：,从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量),椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,2离心率对椭圆形状的影响：,0e1,3e与a,b的关系:,思考：当e0时，曲线是什么？ 当e1时曲线又是 什么？,1）e越接近1，c就越接近a，从而b 就越小，椭圆就越扁 2

3、）e越接近0，c就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆,圆,线段F1F2,两种标准方程的椭圆性质的比较,关于x轴、y轴、原点对称,A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b),A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0),练习：已知椭圆 的离心率 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 标、顶点坐标。,练习： 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1,例2：点M（x，y）与定点F(4,0)的距离和它到直 线 的

4、距离的比是常数 ，求点M的轨迹。,椭圆的第二定义：平面内到定点（焦点）的距离和它到定直线（准线）的距离的比是一个常数（离心率）（0常数1）的点的轨迹是椭圆,例3求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成：的两部分，且经过点,解： 方法一：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。,方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 ，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为,注：待定系数法求椭圆标准

5、方程的步骤： 定型； 定量,或,或,1. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,例4：(1)椭圆 的左焦点 是两个顶点，如果到F1直线AB的 距 离为 ，则椭圆的离心率e= .,题型三：椭圆的离心率问题,例4：(2)设M为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点， 如果 ，求椭圆的离心率。,练习：,D,2若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率是（）,D,2.1.2 椭圆的简单几何性质,1-点、直线与椭圆的位置关系,2-弦长公式,(第三课时),探究,点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？,类比圆可以吗？,点与椭圆的位置关系,D,练

6、一下,回忆：直线与圆的位置关系,1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)0 直线与圆相离无公共点,通法,3.几何法点线距d与半径r的大小关系,直线与椭圆的位置关系,种类:,相离(没有交点),相切(一个交点),相交(二个交点),相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点),直线与椭圆的位置关系的判定,代数方法,1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)0直线与椭圆相交有两个公

7、共点； (2)=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)0 直线与椭圆相离无公共点,通法,1.直线与椭圆的位置关系,例1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?,1.直线与椭圆的位置关系,B,2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 交点情况满足( ) A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.有公共点,变式：,D,思考：最大的距离是多少？,1.直线与椭圆的位置关系,练习：已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系.,解：联立方程组,消去y,0,因为,所以，方程（）有两个根，,那么，相交所得的弦的弦长是多

8、少？,则原方程组有两组解.,- (1),由韦达定理,1.直线与椭圆的位置关系,设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k,弦长公式：,2.弦长公式,例3.已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点， 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长,2.弦长公式,例 4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,解：,韦达定理斜率,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造,弦中点问题,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率,点,作差,弦中点问题,例 4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,例4.已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.,所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条,解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，