力学第四五章弯曲内力应力.ppt

1、第10章,梁的弯曲内力,梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容,弯曲变形是工程构件最常见的基本变形,工程实际中的弯曲问题,本单元主要内容,梁弯曲的概念 梁的载荷与支座反力 梁的内力 梁的应力 梁的强度条件,10-1 梁弯曲的概念,产生弯曲变形的杆称为梁,梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形,平面弯曲的概念,我们只研究矩形截面梁的弯曲,矩形截面梁有一个纵向对称面,当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。,因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲,10-2 梁的载荷与支座反力,1、梁的载荷,# 集中力,# 均布载荷,# 集中力矩,正负号规定：,集中力和均布载荷

2、与坐标轴同向为正、反向为负；,集中力矩逆时针为正、顺时针为负。,2、梁的支座反力,梁的支承方法及反力,3、梁的类型,根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型,简支梁,一端固定铰支座 一端活动铰支座,悬臂梁,一端固定 一端自由,外伸梁,一端固定铰支座 活动铰支座位于梁中某个位置,4、求支座反力的平衡方程,求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系,求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件,举例说明,P,左边固定铰支座，有两个约束反力,A,B,右边活动铰支座，1个约束反力,l,再以悬臂梁为例,假设该悬臂梁承受均布载荷,q,l,固定端有3个约束反力,Rx,Ry,A,B,MA,建立平衡方程求约束反力,1

3、0-3 梁的内力,# 剪力和弯矩 # 剪力和弯矩的正负号规定 # 截面法求内力 # 剪力图和弯矩图,1、剪力和弯矩,与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩,考察弯曲梁的某个横截面,在截面形心建立直角坐标系,剪力与截面平行，用Q表示,Q,弯矩作用面在纵向对称面内,方向沿Z 轴方向,M,用M 表示,2、剪力和弯矩正负号的规定,剪力正负号,对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负,弯矩正负号,Q,Q,M,M,M,M,正,负,正,负,使梁下凹为正，向上凸为负,3、截面法求剪力和弯矩,P1,P2,RAy,A,B,RAx,RB,P1,RAy,a,a,M,Q,对截面中心建立力矩平衡方程

4、,m,m,RAx,说明：,1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。,2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的平衡方程。,3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。,举例：,l,q,求图示简支梁 x 截面的弯矩,q,RAy,M,A,B,在x 处截开，取左半部分分析,画出外力、约束反力、弯矩,x 截面剪力、力矩平衡方程,qx,Q,可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线抛物线,弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有,由对称性，可以求得,l,q,A,B,4、剪力图和弯矩图,将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示,例如上面的受均布载荷的简支梁,l,q,A,B,（

5、1）列剪力方程和弯矩方程,（2）画剪力图和弯矩图,例10-3 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用，作此梁的剪力图和弯矩图。,(1) 求支座反力,(2) 列剪力方程和弯矩方程,AC段:,(0 x a),CB段：,(3) 画剪力图和弯矩图,集中力使剪力图突变,集中力使弯矩图折曲,AC段:,(0 x a),CB段：,（1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,（3）画剪力图和弯矩图,集中力偶使弯矩图突变,集中力偶不使剪力图变化,（1）求支座反力,（2）列写弯矩方程,（3）画弯矩图,集中力偶使弯矩图突变,集中力使弯矩图折曲,5、分布载荷q、剪力Q 和弯矩 M之间的微分 关系,（1

6、） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。M 为 x 的一次函数，是一条斜直线。（计算特殊点按x 顺序连直线） （2）q =常数时，Q 为 x 的一次函数，是一条斜直线。M 为 x的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三点连抛物线）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极值点位于剪力Q 为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变值等于集中力或集中力偶矩的值）,A,C,D,B,E,习题与 课堂练习,画剪力弯矩图,10-1（e）,A,B,C,q =10 kN/m,Q,M,1.33,2.67,

7、0.27,0.36,A,B,C,10 Nm,Q,M,50 N,10 Nm,10-2（h）,A,C,q,Q,M,0.28,3/4,5/4,1,0.5,4-2（j）,4-5（h）,A,B,C,q,Q,M,5/6 qa,1,3/6,7/6,5/6 qa2,1/6,13/72,4-7 检查下列剪力弯矩图是否正确,q,A,B,C,A,B,q,P=qa,A,q,第11章,梁的弯曲应力,11-1 梁弯曲时的正应力,# 纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。 各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。,

8、1、 变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。,# 中性层和中性轴,中性层,梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。,对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。,中性轴,中性层与横截面的交线。,梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。,如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短,变形的几何关系为：,2、应力和变形的关系（物理关系）,由虎克定律,弯曲正应力分布规律,M,与中性轴距离相等的点，正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；,弯矩为负时，

9、正应力上拉下压；,M,中性轴上，正应力等于零,3、静力学关系分析,Z:中性轴,没有轴向力,中性轴必然通过横截面的形心,质心坐标,静矩，面积矩,抗弯刚度,横截面上 某点正应力,该点到中性轴 距离,该截面弯矩,该截面惯性矩,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,例11-1 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（1）作弯矩图， 求最大弯矩,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，

10、其值为,（2）求最大应力,11-2 惯性矩的计算,1、简单截面的惯性矩,矩形截面,圆形与圆环截面,实心圆,空心圆,2、组合截面惯性矩,平行移轴公式,例11-2 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.,将截面划分为 、两矩形，取与截面底边相重合的z 轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：,（1） 确定形心和中性轴的位置,整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为：,即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。,（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩,设两矩形的形心C和C；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：,由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为：,将两矩

11、形对z轴的惯性矩相加，得,（3）求整个截面对中性轴的惯性矩,3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：,WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴.,矩形截面,Z,b,h,实心圆截面,Z,d,11-3 梁的强度条件,# 梁的最大正应力 # 梁的强度条件 # 举例,1、梁的最大正应力,梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,2、梁的强度条件,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷,例11-3 图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用应力 = 140MPa。,q,300,300,1400,A,B,C,D,危险截面在轴的中部,利用