北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题

1、北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2015.1 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设集合A 1,0,1，B x| x x 2，则集合AI B （） （A）1,0,1（B）1,0（C）0,1（D）1,1 2 2设命题p：平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b|，则p为（） （A）平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b|（B）平面向量a a和b b，|a a b b|a a |b b| （C）平面向量a

2、a和b b，|a a b b|a a |b b| 3在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若a 2b，sin B （D）平面向量a a和b b，|a a b b|a a | |b b| 3 ，则（） 4 2 3 （A）A 3 （B）A 6 3 （C）sin A 3 （D）sin A 4执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 开始 a=2，x=3 y ax 否 x=x+1 y10 x3 是 输出 x 结束 5设函数f (x) 3xbcosx，xR，则“b 0”是“函数f (x)为奇函数”的（） （A）充分而不必要条件 （C）充

3、分必要条件 6一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（） （A）最长棱的棱长为6 （B）最长棱的棱长为3 （C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D）侧面四个三角形都是直角三角形 1 1 俯视图 11 正(主)视图 1 侧(左)视图 22 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线C : y 4x，点P(m,0)，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点Q，使得 2 ? OQP90o，则实数 m 的取值范围是（ ） （B）(4,+ ? ) （D）(8,+ ? ) （A）(4,8) （C）(0,4) x y1, 8. 设 D 为不等

4、式组若对于 2x y1,表示的平面区域， 点 B(a,b)为坐标平面xOy内一点， x 2y1 uuu r uuu r 区域 D 内的任一点A(x, y)，都有OAOB1成立，则a b的最大值等于（） （A）2 （C）0 （B）1 （D）3 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 复数z 2i ，则| z |_ 12i x2y2 10设F 1,F2 为双曲线 C： 2 1(a 0)的左、右焦点，点P 为双曲线 C 上一点，如果 a16 | PF 1 | PF 2 |4，那么双曲线 C 的方程为_；离心率为_. 11在右侧的表格中，

5、各数均为正数，且每行中的各数从左到右 成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 2 y x a 3 3 2 z x y z _ 12 如图，在ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点 1 2 5 8 A F E BC AF _；A _ E，F，且AC 2AE，那么 AB 13现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序， 要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个 唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是_. （用数字作答） 14. 设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转 （ 角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_ 条. ） 三、解答题：本大

6、题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) 2 3sin xxx coscos, xR R 的部分图象如图所示. 442 （）求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间； （） 设点 B 是图象上的最高点，点A 是图象与 x 轴的交点，求tanBAO的值. 16 （本小题满分 13 分） 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市： 投资结果 概率 （2）购买基金： 投资结果 概率 （）当p = 获利 20%不赔不赚亏损 10% 获利 40%不赔不赚亏损 20% y y B B O OA Ax

7、 x 1 2 1 8 3 8 p 1 3 q 1 时，求 q 的值； 4 4 ，求p的取值范围； 5 （）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年 后他们中至少有一人获利的概率大于 （）丙要将家中闲置的10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这 两种方案中选择一种，已知p = 11 ，q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后 26 投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由 17 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱柱ABCD A 1B1C1D1 中，A 1A 底面ABCD，BAD90o，AD / BC， 且A 1A AB AD 2BC 2 ，

8、点 E 在棱 AB 上，平面A 1 EC与棱C 1D1 相交于点 F. （）证明：A 1F 平面B 1CE ； （）若 E 是棱 AB 的中点，求二面角A 1 ECD的余弦值； （）求三棱锥B 1 A 1EF 的体积的最大值. 18 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) ax bx(a 0)和g(x) lnx的图象有公共点 P， 且在点 P 处的切线相 同. （）若点 P 的坐标为( ,1)，求a, b的值； （）已知a b，求切点 P 的坐标. 19 （本小题满分 14 分） 2 A1D1 B1 C1 F A E BC D 1 e x2y2 已知椭圆 C： 1的右焦点为 F，右顶点为

9、 A，离心率为 e，点P(m,0)(m 4)满 1612 足条件 | FA| e. | AP| （）求 m 的值； （）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记PMF和PNF的面积分别 为S1，S2，求证： S 1 | PM | . S 2 | PN | 20 （本小题满分 13 分） 设函数f (x) x(9 x)，对于任意给定的m位自然数n 0 a mam1L a2a1 （其中a 1 是个位 数字，a 2 是十位数字，L） ，定义变换A：A(n 0 ) f (a 1) f (a2 ) L f (a m ). 并规定 A(0) 0记n 1 A(n 0 )，n 2 A(n

10、1) ，L，n k A(n k1) ，L （）若n 0 2015，求n 2015 ； （）当m 3时，证明：对于任意的m(mN N*)位自然数n均有A(n) 10m1； （）如果n 0 10m(mN N*,m 3)，写出nm的所有可能取值.（只需写出结论） 北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末 高三数学（理科）（理科）参考答案及评分标准 2015.12015.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1C2D3A4C 5C6D7B8A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题

11、小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . x2y2 911015 416 1 111712 23 4 13961413 注：第注：第 1010，1212 题第一问题第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） （）解：因为f (x) 2 3sin xxx coscos 442 xx 3sincos 2 22 x 2 6 分 =2sin()， 4 分 所以T 2 4.

12、1 2 故函数f (x)的最小正周期为4. 6 分 x 2k， 2262 42 解得4kx4k+， 33 由题意，得2k 所以函数f (x)的单调递增区间为4k 分 42 ,4k+,(kZ Z). 9 33 y y B B O OC C A A （）解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C. 3T 3，BC 2， 4 BC2 所以tanBAO . AC3 由题意，得AC x x 13 分 16 （本小题满分 13 分） （）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损”三种， 且三种投资结果相互独立， 所以p+ 分 又因为p = 所以q= 1 +q=1. 2 3

13、1 ， 4 5 3 分 12 （）解：记事件 A 为 “甲投资股市且盈利” ，事件 B 为“乙购买基金且盈利” ，事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” ， 4 分 则C = ABU ABU AB，且 A，B 独立. 由上表可知， P(A)= 1 ，P(B)= p. 2 所以P(C)= P(AB)+ P(AB)+ P(AB) 5 分 = 1 ? (1 2 p)+ 1 ? p 2 1 ? p 2 = 1 + 1 p. 6 22 分 因为P(C)= 1 + 1 p 4 ， 225 所以p 3 . 7 5 分 又因为p+ 1 + q = 1，q0， 3 所以 p 2 . 3 所以 3

14、 p 2 . 8 53 分 （）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额 （单位： 万元） ， 所以随机变量X的分布列为： X402 3 8 P 1 2 1 8 9 分 1135 则EX 40(2).10 2884 分 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万 元） ， 所以随机变量Y的分布列为： Y2 1 2 0 1 3 1 1 6 P 11 分 1115 则EY 20(1). 12 2366 分 因为EX EY， 所以丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13 分 17 （本小题满分 14 分） （

15、）证明：因为ABCD A 1B1C1D1 是棱柱， 所以平面ABCD平面A 1B1C1D1 . 又因为平面ABCDI平面A 1ECF EC ，平面A 1B1C1D1 I平面A 1ECF A1F ， 所以A 1F EC.2 分 又因为A 1F 平面B 1CE ，EC平面B 1CE ， 所以A 1F 平面B 1CE .4 分 （）解：因为AA 1 底面ABCD，BAD 90o， 所以AA1，AB，AD两两垂直，以 A 为原点，以AB，AD，AA 1 分别为x轴、y轴 和z轴，如图建立空间直角坐标系.5 z 分 A1D1 M 则A 1(0,0,2) ，E(1,0,0)，C(2,1,0)， F B1

16、C1 uuuruuur 所以A 1 E (1,0,2),AC (2,1,2). 1 u r 设平面A 1ECF 的法向量为m (x, y,z), uuur u ruuur u r 由A 1Em 0 ，AC 1 m 0, A E x BC D y x2z 0, 得2x y2z 0. u r 令z 1,得m (2,2,1).7 分 r 又因为平面DEC的法向量为n (0,0,1)，8 分 u r r u r r mn1 r r ，所以cos m,n u |m|n|3 由图可知，二面角A 1 EC D的平面角为锐角， 所以二面角A 1 EC D的余弦值为 1 .10 3 分（）解：过点 F 作FM

17、A 1B1 于点M, 因为平面A 1 ABB 1 平面A 1B1C1D1 ，FM 平面A 1B1C1D1 , 所以FM平面A 1ABB1 , 所以V B A EF V FB A E S A B E FM12 111 11 1 分 1 3 1222 FM FM. 323 因为当 F 与点D1重合时，FM取到最大值 2（此时点 E 与点 B 重合） ， 所以当 F 与点D 1 重合时，三棱锥B 1 A 1EF 的体积的最大值为 分 18.（本小题满分 13 分） （）解：由题意，得f ( ) 分 且f (x) 2axb，g(x) 分 由已知，得f( ) g( )，即 4 .14 3 1 e ab

18、1，1 e2e 1 ，3 x 1 e 1 e 2a b e， e 解得a 2e2，b 3e.5 分 （）解：若a b，则f (x) 2axa，g(x) 设切点坐标为(s,t)，其中s 0, 由题意，得as2as lns， 2asa 1 ， x 1 ，6 s 分 11 ，其中s ， 2s(2s1) s1 代入，得 lns.（*）7 2s1 由，得a 分 1 0，且s 0， s(2s1) 1 所以 s .8 2 因为 a 分 x11 ln x，x( ,)， 2x12 (4x1)(x1) 则F(x) .9 x(2x1)2 设函数F(x) 分 令F(x) 0，解得x 1或x 分 当x变化时，F(x)与

19、F(x)的变化情况如下表所示， 1 (舍).10 4 x 1 ( ,1) 2 1 0 (1,) F(x) F(x) 12 分 1 所以当x 1时，F(x)取到最大值F(1) 0，且当x( ,1)U (1,)时F(x)0. 2 因此，当且仅当x 1时F(x) 0. 所以方程（*）有且仅有一解s 1. 于是t lns 0， 因此切点 P 的坐标为(1,0).13 分 19 （本小题满分 14 分） x2y2 （）解解：因为椭圆 C 的方程为1， 1612 所以 a 4,b 2 3,c a2b2 2,2 分 则e 因为 c1 ，| FA| 2，| AP| m4.3 分 a2 | FA|21 ， |

20、AP|m42 所以m8.5 分 （）解解：若直线 l 的斜率不存在， 则有 S 1 S 2 ，| PM | PN |，符合题意. 6 分 若直线 l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y k(x2)，M(x 1, y1) ，N(x 2 , y 2 ). x 2y2 1, 由 16 12 y k(x2), 得(4k23)x216k2x16k248 0， 7 分 16k216k248 可知 0恒成立，且x 1 x 2 2 ，x 1x2 . 8 4k 34k23 分 因为k PM k PN 分 y 1 yk(x 1 2)k(x 2 2) 10 2 x 1 8x 2 8x 1 8x 2 8 k(x 1 2)(x 2 8) k(x 2 2)(x 1 8) (x 1 8)(x 2 8) 2kx 1 x 2 10k(x