北京市重点中学高二数学下学期期中试卷理

1、北京市北京市 2014201420152015 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高高 二数学（理）试卷二数学（理）试卷 (考试时间：100 分钟总分：100 分) 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的.） 1已知复数z满足： zi 2i （i是虚数单位） ，则z的虚部为（） A 2i B 2i C2 D 2 2图书馆的书架有三层，第一层有3 本不同的数学书，第二层有5 本不同的语文书，第三层 有 8 本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法。 A.120 B.16 C.64D.39 x21

2、3ln x 1的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（）3已知曲线y 42 A3 B2 C1 D 4由直线y 1 2 11 ,y 2,曲线y 及y轴所围成的封闭图形的面积是（） 2x 15 A2ln 2 B2ln 21 Cln2 D 42 5以下说法正确的是（） A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6设函数f (x) xln x，则f (x)的极小值点为（） A.x e

3、 B.x ln2 C.x e2 D.x 1 1 e 7已知2 1 2，2213 34，23135 456, ，以此类推，第5 个等式 为（） 4 A2 1357 5678 5 B2 13579 56789 4 C2 13579 678910 5 D2 13579 678910 8在复平面内，复数34i，i2i对应的点分别为，则线段的中点C对应的 复数为（） A22i B22i C1i D1i 9 已知函数f x 1 2 则 f x的图象大致是 （ ）x cos x, f x是函数f x的导函数， 4 10设函数y f x在区间a,b上的导函数为 f x， f x在区间a,b上的导函数为 ，已知

4、 f x，若区间a,b上 f x0 ，则称函数 fx在区间a,b上为“凹函数” 1 5 1 ，则实数m的取值范围是（）x mx42x2在1,3上为“凹函数” 2012 3131 A(,) B,5 C(,3 D,5 99 fx 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.） 11函数f (x) x ax2在(1,)上是增函数，则实数a的取值范围是 3 x2y2 1表示焦点位于y 轴上的椭圆有12设集合A 1,2,3,4,5,a,b A,则方程 ab 个. sin x,x 0, 2 2 13设f (x) ，则f (x)dx为。 0 1,x ,2 2 14已知复数z x yix,y

5、R,x 0且z 2 3，则 y 的范围为 x 15在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所 标边长，由勾股定理有c a b设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从 正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN，如果用S1,S 2 ,S 3 表示三个侧面面积， 222 S 4 表示截面面积，那么类比得到的结论是 16 对定义在区间D上的函数f (x)和g(x)， 如果对任意xD， 都有 f (x)g(x) 1成立， 那么称函数f (x)在区间D上可被g(x)替代，D称为“替代区间” 给出以下命题： 1 替代； 2 11 3 f (x) x可被g(x)

6、 1替代的一个“替代区间”为 , ； 4x4 2 f (x) x 1在区间(,)上可被g(x) x2 2 f (x) ln x在区间1,e可被g(x) xb替代，则e2b2； f (x) lg(ax x)(xD1),g(x) sin x(xD2)，则存在实数a(a 0)，使得f (x)在区 间D 1 D 2 上被g(x)替代； 其中真命题的有 三、解答题（本大题共 4 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共 8 分） 已知函数f (x) x ax 2, x 2是f (x)的一个极值点，求： （1）实数a的值； （2）f (x)在区间1, 3上的最大值和

7、最小值。 32 2 18. （本小题共 8 分） 若a、b、c均为实数，且a x22y 2 ，b y22Z 3 ，c Z22x 6 求证：a、b、c中至少有一个大于0。 19. (本小题共 10 分) 已知函数 f (x) e ax1(aR) （1）求函数f (x)的单调区间； （2）若函数F(x) f (x) 的取值范围； x 1 2在x 1, 2上有且仅有一个零点，求a 2 20. (本小题共 10 分) 11 aa11 * nn12 成立，已知数列a n的各项均为正整数，对于任意 n N ，都有2 a n1 1 1 a n nn1 且a2 4 （1）求a1，a3的值； （2）猜想数列an

8、的通项公式，并给出证明 北京市 20142015 学年度第二学期期中考试 高二（理）试卷答案及评分标准 一、选择题 序号 答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 B 6 D 7 D 2 8 D 22 9 A 2 10 C 二、填空题 11.3, 12.10 13. 3 16 三、解答题 17 （1）因为，f (x) 3x 2ax,（1 分） 2 2 14 3, 3 15s 1 s 2 s 3 s 4 f (x)在x 2处有极值，所以，f (2) 0, （2 分） 即34 4a 0,所以，a 3。（3 分） （2）由（1）知a 3，所以f (x) x 3x 2, f (x) 3x 6x（4 分

9、） 322 令f (x) 0,得x 1 0, x 2 2， 当x变化时f (x), f (x)的变化情况如下表： x 1 1, 0 + 0 0 0, 2 - 2 0 2,3 + 3 f (x) f (x) 2222 （7 分） 从上表可知f (x)在区间1,3上的最大值是2，最小值是2。（8 分） 18. 证明：假设a,b,c都不大于0， 即a 0,b 0, c 0 abc 0 (4 分) a bc x 2y 2 2 2 y22z 22 3 z22x 6 =(x 1) (y 1) (z 1) 3 0与上式矛盾 a,b,c中至少有一个大于0（8 分） 19.(1)解：f (x) exa（1 分）

10、 当a 0时，f (x)0，则f (x)在(,)上单调递增（2 分） 当a 0时，f (x)在(， lna)上单调递减，f (x)在(lna， )上单调递增 （4 分） (2)解：由F(x) f (x) ex 1 2x 0，得a 2 ex 1 2x 1 2 x 考查函数g(x) 令h(x) (x1)ex 1 2 1 x 1(x 1)exx21 22 (x1, 2)，则g(x) （5 分） 2x x 1 2x 1，h(x) x(ex1)（6 分） 2 当1 x 2时，h(x) 0，h(x)在1, 2上单调递增（7 分） h(x)h(1) 1 0,g(x) 0，g(x)在1, 2上单调递增（8 分

11、） 2 ex g(x) 1 2x 1 13 2 在1, 2上的最小值为g(1) e，最大值为g(2) (e23) x22 （9 分） 当e 131 a e2 3时，函数F(x) f (x)x2在1, 2上有且仅有一个零点 222 （10 分） 11 aa n1 11 20. （1）因为2 n 2，a2 4 a n1 1 1 a n nn1 1221 1 1 11 2 2 2 2，即有当n 1时，由2， 4a4a a 2 aaa 11 12 1 解得 28 a 1 因为a1为正整数，故a1 1 （2 分） 37 当n 2时，由2 1 1 11 6 2， a 3 4 4a 3 解得8 a3 10，所以a 3 9 （4 分） 2 （2）由a1 1，a 2 4，a 3 9，猜想：a n n （5 分） 下面用数学归纳法证明 2 1 当n 1，2，3时，由（1）知an n均成立（6 分） 2 2 假设n kk3成立，则ak k ， 由条件得2 1 1 1 1 kk 1 2 2 2 ，