北京延庆县中考一模《数学》试题及

1、20062006 年全国中考数学压轴题全析全解年全国中考数学压轴题全析全解 1、 （2006 重庆）如图 1 所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中 线 CD 把这张纸片剪成AC1D 1 和BC2D2两个三角形（如图 2 所示）.将纸片AC1D 1 沿 直线D2B（AB）方向平移（点A,D 1,D2 ,B始终在同一直线上） ，当点D 1 于点 B 重合时， 停止平移.在平移过程中，C1D 1 与BC2交于点 E,AC1与C2D2、BC2分别交于点 F、P. (1) 当AC1D 1 平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的D 1E 与D2F的数量关系，并

2、证明 你的猜想； (2) 设平移距离D2D 1 为x，AC1D 1 与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数 关系式，以及自变量的取值范围； （3） 对于 （2） 中的结论是否存在这样的x的值， 使重叠部分的面积等于原ABC面积的 若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. C1C2 C ABADD1 D2 图 1 图 2 1 . 4 C1 P F B C2 E D1BAD2 图 3 解解 （1）D 1E D2F .因为C1D 1C2 D 2 ，所以C1 AFD2. 又因为ACB 90，CD 是斜边上的中线， 所以，DC DA DB，即C1D 1 C 2 D 2 BD 2 AD 1 所以

3、，C1 A，所以AFD2 A 所以，AD2 D2F.同理：BD 1 D 1E . 又因为AD 1 BD 2 ，所以AD2 BD 1 .所以D 1E D2F （2）因为在RtABC中，AC 8,BC 6，所以由勾股定理，得AB 10. D C QB A P 即AD 1 BD 2 C 1D1 C 2 D 2 5 又因为D2D 1 x，所以D 1E BD1 D 2 F AD 2 5 x.所以C 2 F C 1E x 在BC2D2中，C2到BD2的距离就是ABC的AB边上的高，为 24 . 5 设BED1的BD 1 边上的高为h，由探究，得BC2D2BED 1 ，所以 h5 x . 24 5 5 所以

4、h 24(5 x)112 .S BED1 BD 1 h (5 x)2 25225 又因为C1C2 90，所以FPC2 90. 43 ,cos B . 55 3416 2 所以PC2x,PF x，SFC 2P PC 2 PF x 55225 1126 而y SBC 2D2 S BED1 S FC2P S ABC (5 x)2x2 22525 18 2 24 所以y x x(0 x 5) 255 118 2 24 (3) 存在. 当y S ABC 时，即x x 6 4255 5 2 整理，得3x 20 x25 0.解得，x 1 ,x 2 5. 3 51 即当x 或x 5时，重叠部分的面积等于原AB

5、C面积的 34 又因为C2 B，sin B 2、 （2006 浙江 金华） 如图,平面直角坐 标系中 ,直线AB与x轴,y轴分别 交于 A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点 C作CDx轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S 梯形 OBCD 4 3 ,求点C的坐标; 3 (3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解解 （1）直线 AB 解析式为：y= （2）方法一：设点坐标为（x， 3 x+ 3 3 33 x+ 3） ，那么 ODx，CD x+ 3 33

6、 S 梯形OBCD OB CDCD 2 3 2x 3 6 由题意： 4 33 2x 3 ，解得x1 2,x2 4（舍去） 36 （， 3 ） 3 4 313 33 OAOB ,S 梯形OBCD ，S ACD 3226 方法二： S AOB 由 OA= 3OB，得BAO30，AD=3CD S ACD 3331 CD2 CDAD可得 CD 2632 3 ） 3 AD=，ODC（， （）当OBPRt时，如图 若BOPOBA，则BOPBAO=30，BP= 3OB=3， P1（3， 3 ） 3 3 OB=1 3 若BPOOBA，则BPOBAO=30,OP= P 2 （1， 3） 当OPBRt时 过点 P

7、 作 OPBC 于点 P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30 过点 P 作 PMOA 于点 M 方法一： 在 RtPBO 中，BP 313 OB，OP 3BP 222 在 RtPO 中，OPM30， OM 3 31333 3 OP；PM 3OM P 3 （，） 44244 33 x+ 3） ，得 OMx ，PM x+ 3 33 方法二：设（x ， 由BOPBAO,得POMABO tanPOM= PM = OM 3 x 3 OA 3 ，tanABOC= 3 xOB 3333 3 x+ 33x，解得 x 此时，P 3 （，） 3444 若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30，POM3

8、0 PM 33 OM 34 33 ，） （由对称性也可得到点P 4 的坐标） 44 P 4 （ 当OPBRt时，点 P 在轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是： P1（3， 3333 33 ） ，P 2 （1， 3） ，P 3 （，） ，P 4 （，） 43444 o 3、 （2006 山东济南） 如图 1，已知RtABC中，CAB 30，BC 5过点A作 AEAB，且AE 15，连接BE交AC于点P （1）求PA的长； （2）以点A为圆心，AP为半径作A，试判断BE与A 是否相切，并说明理由； （3）如图2，过点C作CD AE，垂足为D以点A为圆心，r为半径作A；以点C为

9、圆心，R为半径作C若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A 和C 相 E 切，且使D点在A 的内部，B点在A E 的外部，求r和R的变化范围 P C AAB 图 1 解解 （1）Q在RtABC中，CAB 30 ，BC 5， AC 2BC 10 o P C B 图 2 Q AE BC，APE CPB PA :PCAE :BC3:1 PA :AC3:4，PA （2）BE与A 相切 Q在RtABE 中，AB 5 3，AE15， tan ABE 3 1015 42 AE15 3，ABE60o AB5 3 oooAPB90 ，又QPAB30， ABEPAB90 ， BE与A 相切 （3）因为AD

10、 5，AB5 3，所以r的变化范围为5r5 3 当A 与C 外切时，Rr10，所以R的变化范围为10 5 3R5； 当A 与C 内切时，Rr10，所以R的变化范围为15 R105 3 4、 （2006 山东烟台）如图，已知抛物线 L1: y=x -4 的图像与 x 有交于 A、C 两点， （1）若抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称，求 l2的解析式； （2）若点 B 是抛物线 l1上的一动点（B 不与 A、C 重合） ，以 AC 为对角线，A、B、C 三点为 顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点 D 在 l2上； （3）探索：当点 B 分别位于 l1在 x 轴上、下两部分的图像上时，

11、平行四边形 ABCD 的面积 是否存在最大值和最小值？若存在， 判断它是何种特殊平行四边形， 并求出它的面积；若不 存在，请说明理由。 2 解解 （1）设 l2的解析式为 y=a(x-h) +k l2与 x 轴的交点 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0， -4),l1与 l2关于 x 轴对称， l2过 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4） 2 y=ax +4 0=4a+4得 a=-1 2 l2的解析式为 y=-x +4 (2)设 B(x1,y1) 点 B 在 l1上 2 B(x1,x1-4) 四边形 ABCD 是平行四边形，A、C 关于 O 对称 B、D 关于 O 对称

12、 2 D(-x1,-x1+4). 22 将 D(-x1,-x1+4)的坐标代入 l2：y=-x +4 左边=右边 点 D 在 l2上. 2 (3)设平行四边形 ABCD 的面积为 S,则 S=2*SABC=AC*|y1|=4|y1| a.当点 B 在 x 轴上方时，y10 S=4y1,它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而增大， S 既无最大值也无最小值 b.当点 B 在 x 轴下方时，-4y10 S=-4y1,它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而减小， 当 y1=-4 时，S 由最大值 16，但他没有最小值 此时 B(0,-4)在 y 轴上，它的对称点 D 也在 y

13、 轴上. ACBD 平行四边形 ABCD 是菱形 此时S 最大 =16. 5、 （2006 浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测， 迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所 在的抛物线以C为顶点、开口向上以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A） 的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图 （单位：百米） 已知AB所在抛物线的解析式 1 2 1 x8，BC所在抛物线的解析式为y (x 8)2，且已知B(m, 4) 44 （1）设P(x, y)是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标； 为y （2）从山顶开始、沿迎

14、面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为20 厘米，长度 因坡度的大小而定，但不得小于20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图） 分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ； 这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？ （3）在山坡上的 700 米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的 起点选择在山脚水平线上的点E处，OE 1600（米） 假设索道DE可近似地看成一 段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y 高度 1 (x 16)2试求索道的最大悬空 28 长度 高度 y 7 A D 4B 解解 （1）P(x, y)是山坡线AB上任意一点， y 1 2 x8，x 0， 4 x2

15、 4(8 y)，x 2 8 y B(m, 4)，m 2 8 44，B(4, 4) （2）在山坡线AB上，x 2 8 y，A(0,8) 令y08，得x0 0；令y18 0.002 7.998，得x1 2 0.002 0.08944 第一级台阶的长度为x1 x0 0.08944（百米）894（厘米） 同理，令y 2 8 20.002、y38 30.002，可得x2 0.12649、x3 0.15492 第二级台阶的长度为x2 x1 0.03705（百米）371（厘米） 第三级台阶的长度为x3 x2 0.02843（百米） 284（厘米） 取点B(4,4)，又取y 4 0.002，则x 2 3.99

16、8 3.99900 4 3.99900 0.001 0.002 这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 （注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到 700 米高度，共 500 级从 100 米高度到 700 米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性） 另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图 这种台阶的长度不小于它的高度 PQR 45 当其中有一级台阶的长大于它的高时，PQR 45 P R Q 在题设图中，作BH OA于H 则ABH 45，又第一级台阶的长大于它的高 这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 y（3） A D 7 B4 4O D(2,7)、E

17、(16, 0)、B(4, 4)、C(8, 0) 上山方向 C E x 由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时，悬空高度y 11 (x 16)2(x 8)2 284 13208 (3x2 40 x 96) (x )2 141433 208 时，ymax 33 当x 800 索道的最大悬空高度为米 3 6、（2006 山东潍坊） 已知二次函数图象的顶点在原点O， 对称轴为y轴 一次函数y kx1 的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧） ，且A点坐标为4， 4平行于 x轴的直线l过0， 1点 （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以

18、线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位t 0，二次函数的图象 与x轴交于M，N两 y x l 点，一次函数图象交y轴于F点当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最 小面积是多少？ 解解 （1）把A(4， 4) 代入y kx1得k 3 ， 4 3 一次函数的解析式为y x1； 4 Q二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， 设二次函数解析式为y ax2， 把A(4， 4)代入y ax2得a 1 ， 4 二次函数解析式为y 1 2x 4 3 y x1 4 （2）由 1 y x2 4 x 1 x 4 解得或1， y y

19、4 4 1 B1 ， ， 4 ，B点分别作直线l的垂线，垂足为A，B， 过A 15 1 ， 44 5 5 4 25 ，直角梯形AABB的中位线长为 28 则AA 41 5，BB 过B作BH垂直于直线 AA 于点H，则BH AB5，AH 4 115 ， 44 2515 AB 5 ， 4 4 2 2 AB的长等于AB中点到直线l的距离的 2 倍， 以AB为直径的圆与直线l相切 （3）平移后二次函数解析式为y (x2) t， 令y 0，得(x2) t 0，x 1 2 t，x 2 2 t， 2 2 Q 过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x 2上，点F为定点， Q 要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直

20、线x 2的距离， 此时，半径为 2，面积为4， 设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE 1， 在三角形CEM中，ME 221 3， MN 2 3，而MN x 2 x 1 2 t，t 3， 当t 3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4 7、 （2006 江西）问题背景问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： 如图 1，在正三角形ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON60，则 BMCN； 如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON90，则 BM

21、CN； 然后运用类比的思想提出了如下命题： 如图 3，在正五边形ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON108，则 BMCN。 任务要求任务要求： （1）请你从、三个命题中 选择一个选择一个进行证明； （说明：选做对得4 分，选 做对得 3 分，选做对得5 分） (2)请你继续完成下列探索： 请在图 3 中画出一条与 CN 相等的线段 DH，使点 H 在正五边形的边上，且与 CN 相 交所成的一个角是 108，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明） 如图 4，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、EA 上的点，BM 与 C

22、N 相交于点 O， A 若BON108，请问结论 BMCN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 E 由。 N M N A O M O B 图 1 C B 图 4 C D N AD M O B 图 2 C 解解 （1）以下答案供参考： （1） 如选命题 证明：在图 1 中，BON=601+2=60 3+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN（2）如选命题 证明：在图 2 中，BON=901+2=90 3+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如选命题 证明；在图 3 中，BON=1081+2=10

23、8 2+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108 BCMCDN BM=CN (n-2)1800 (2)答：当BON=时结论BM=CN成立 n 答当BON=108时。BM=CN还成立 证明；如图 5 连结BD、CE. 在BCI)和CDE中 BC=CD, BCD=CDE=108,CD=DE BCD CDE BD=CE , BDC=CED, DBC=CEN CDE=DEC=108, BDM=CEN OBC+ECD=108, OCB+OCD=108 MBC=NCD 又DBC=ECD=36, DBM=ECN BDM CNEBM=CN 8、 （2006 吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两

24、个函数y x, y 1 x 6的图象交 2 于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒 1 个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于 点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。 （1）求点A的坐标。 （2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。 （3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最 大值；若没有，请说明理由。 （4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与OAB重叠部分面积 最大时，运动时间t满足的条件是_。 解解 y x, （1）由 1 可得 x 4, y 2 x 6, y 4

25、. A（4，4） 。 （2）点P在y =x上，OP =t， 则点P坐标为( 2 2 t, 2 2 t). 点Q的纵坐标为 2 2 t，并且点Q在y 1 2 x 6上。 2 2 t 1 2 x 6,x 122t， 即点Q坐标为(12 2t, 2 2 t)。 PQ 12 3 2 2 t。 当12 3 22 2 t 2 t时，t 3 2。 当0t 3 2时， S 2 2 t(12 3 23 2 t) 2 t2 6 2t. 当点P到达A点时，t 4 2， 当3 2t 4 2时， S (12 3 2 2 t)2 9 2 t236 2t 144。 t 3 2中， （3）有最大值，最大值应在0 333 S

26、t2 6 2t (t2 4 2t 8)12 (t 2 2)212, 222 当t 2 2时，S的最大值为 12。 （4）t 12 2。 9、 （2006 湖南常德） 把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起， 使三角板DEF的 锐 角 顶 点D与 三 角 板ABC的 斜 边 中 点O重 合 ， 其 中ABC DEF 90， o C F 45o，AB DE 4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转， 设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q （1）如图 9，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证APDCDQ此 时，AP CQ （2）将三角板DEF由图

27、1 所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中 0o 90o，问AP CQ的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设CQ x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式 A E P () () 图 3 () B(Q) F 图 1 C 图 3 解解 （1）8 CQ的值不会改变 （2）AP 理由如下：在APD与CDQ中，A C 45 APD 180 45 (45 a) 90 a oooo o （） CDQ 90 a 即APD CDQ o APDCDQ APCD ADCQ 2 1 APg CQ ADg CD AD2 AC8 2 （3）情形1：当0 a 45时，2 CQ 4，即2

28、x 4，此时两三角板重叠部分为四 oo 边形DPBQ，过D作DG AP于G，DN BC于N， DG DN 2 （） 8 x 111 于是y ABgAC CQgDN APgDG 222 8 8 x(2 x 4) x 由（2）知：APg CQ 8得AP oo 情形2：当45 a 90时，0 CQ2时，即0 x2，此时两三角板重叠部分 为DMQ， 由于AP 88 ，PB 4，易证：PBM DNM， xx BMPBBMPB2PB84x 即解得BM MNDN2 BM22 PB4 x 84x MQ 4 BM CQ 4 x 4 x 184x 于是y MQgDN 4 x(0 x2) 24 x 8 综上所述，当

29、2 x 4时，y 8 x x 84x 当0 x2时，y 4 x 4 x x24x8 或y 4 x 法 二 ： 连 结 BD ， 并 过D作DN BC于 点 N ， 在DBQ与MCD中 ， DBQ MCD 45o DQB QCB QDC 45oQDC MDQ QDC MDC DBQMCD MCDB CDBQ MC 8 4 x 8x24x8 MQ MC CD x 4 x4 x 1x24x8 y DNgMQ (0 x2) 24 x 法三：过D作DN BC于点N，在RtDNQ中， DQ DN NQ 4(2 x) x 4x8 于是在BDQ与DMQ中DBQ MDQ 45 DMQ DBM BDM 45 BD

30、M BDQ o o 2 222 2 BDQDMQ BQDQ DQMQ 4 xDQ DQMQ 即 DQ2x24x8 MQ 4 x4 x 1x24x8 y DNgMQ (0 x2) 24 x 10、 （2006 湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n0以AO o 为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转 90 得矩 形AGDE过点A的直线ykxm交y轴于点F，FBFA抛物线y=ax+bx+c过点E、F、G 且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M(1)求k的值； (2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是

31、否改变？说明你的理由 2 解解 （1）根据题意得到：E（3n，0） ， G（n，n） 当 x0 时，ykxmm，点 F 坐标为（0，m） 222 RtAOF 中，AF m n ， FBAF， 222 m n (-2nm) ， 化简得：m0.75n， 对于 ykxm，当 xn 时，y0， 0kn0.75n， k0.75 2 （2）抛物线 y=ax +bx+c 过点 E、F、G， y C M D E G A B F Ox H 0 9n2a3nbc 2 n n anbc 0.75 c 11 解得：a，b，c0.75n 4n2 1 2 1 抛物线为 y=x x0.75n 4n2 1 2 1 x x0.

32、75n y 解方程组：4n2 y 0.75x0.75n 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H 坐标是： （5n，3n） ，HM3n，AMn5n4n， 2 AMH 的面积0.5HMAM6n ； 而矩形 AOBC 的面积2n ， AMH 的面积矩形 AOBC 的面积3:1， 不随着点 A 的位置的 改变而改变 11、 （2006 北京海淀） 如图，已知O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E， 连结 AD、BD、OC、OD，且 OD5。 2 BAD ，求 CD 的长；（1）若sin 3 5 （2）若 ADO：EDO4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留） 。 解解 （1）

33、因为 AB 是O 的直径，OD5 所以ADB90，AB10 BD AB BD33 ，所以B BAD ，所以又sinD 6 1055 在 RtABD 中，sinBAD 2222AD AB BD1068 因为ADB90，ABCD 所以DEAB ADBD，CE DE 所以DE 10 8 6 所以DE 24 5 D 2DE 所以C 48 5 （2）因为 AB 是O 的直径，ABCD 所以CB BD， AC AD 所以BADCDB，AOCAOD 因为 AODO，所以BADADO 所以CDBADO 设ADO4x，则CDB4x 由ADO：EDO4：1，则EDOx 因为ADOEDOEDB90 所以44 x x

34、 x 90 所以 x10 所以AOD180（OADADO）100 所以AOCAOD100 10025 2 1 S5 扇形OAC 36018 11 x与抛物线y x26交于A，B两点 24 12、 （2006 湖南长沙）如图 1，已知直线y ，B两点的坐标； （1）求A （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； ，B两处用铅笔拉着这 （3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A ，B构成无数个三角形， 根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在， 求出最大面积， 并指出此时P点 的坐标；如果不存在，请简要说明理由 yy B B Ox P O A x A 解解 1 2 y x 6 x 1 6 x 2 4 4 （1）解：依题意得解之得 y 3y 21 1 2 y x 2 A(6， 3)，B(4， 2) （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图 1） 由（1）可知：OA 3 5 OB 2 5 y AB 5 5 OM 15 ABOB 22 B C O D 图 1 过B作BEx轴，E为垂足 MA x OCOM5 由BEOOCM，得：， OC ， OBOE4 C， 0，D0， 同理：