北京顺义区高三二模数学理科试题及

1、顺义区 2013 届高三第二次统练 数学试卷(理工类)2013.05 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合A xR R3 x 2,B xR R x24x 3 0，则A B ( ) A3,1B3,1C1,2D,23, 2复数 3 2i 1i ( ) A 1 2 5 2 i B 1 2 5 2 i C 15 2 2 i D 15 2 2 i 3在极坐标系中，直线l的方程为 sin 4 2 2 ，则点A 3 2, 4 到直线l的距离为( A 2 B 22 2 C2 2 2 D2 2 4执行如图所示的程序框图，输出的s值为(

2、) 开始 A10B3 C4D5 k 1,s 1 5已知数列a n 中，an 4n 5，等比数列bn k k 1 的公比q满足q an an1n 2，且b 1 a 2 ， k 5? 是 s 2s k 则b 1 b 2 b n ( ) 否 输出s A1 4nB4n1 nn 结束 C 144 1 3 D 3 6设变量x, y满足约束条件 x 2y 2, 2x y 4,则23xy的取值范围是() 4x y 1 A 2 , 1 B 1 ,64 C D 42 2 2 ,64 4 1 64 ,2 2 7已知正三角形ABC的边长为 1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点， ) 且AP AB,AQ 1A

3、C,R R，则BQCP的最大值为( ) A 3 2 B 3 2 C 3 8 D 3 8 8设m,nR R，若直线l :mx ny 1 0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的 距离为 3，则AOB的面积S的最小值为( ) A 1 2 B2C3D4 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中的横线上) 1 5 9 x 的展开式中含x的项的系数为(用数字作答) x 10设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c， 且cos A 9 1 ,B ,b 5，则sinC ， 34 D A F B E C ABC的面积S 11如图，已知圆中两条弦AB

4、与CD 相交于点F,E是AB延长线上一点， 且DF CF 2, AF 2BF， 若CE与圆相切，且CE 则BE 7 ， 2 h 12一个几何体的三视图如图所示， 若该几何体的表面积为 92m2， 则h m 正(主)视图侧(左)主视图 5 4 2 俯视图 x2y2 13已知双曲线 2 2 1a 0,b 0 ab 2 6x2y2 1 的离心率为，顶点与椭圆 385 的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为 14设定义在R R上的函数 fx是最小正周期为2 的偶函数， f x是 fx的导函数当x0, 时， 0 f x1;当 x0, 且 x 2 时， x f x 0 则函数y f xcosx

5、 在3,3上的零点个 2 数为 三、解答题(本大题共 6 小题，满分 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 13 分) 已知函数f x (I)求 f 3 cosx sin x sin2x1 2cosx2 的值; 3 (II)求函数f x的最小正周期及单调递减区间 16(本小题满分 14 分) 如图，在长方体ABCD A 1B1C1D1 中，AA 1 AD 1，E为CD的中点，F为AA 1 的中点 (I)求证:AD1平面A 1B1E ; (II)求证:DF /平面AB1E; (III)若二面角A B1E A 1 的大小为45， 求AB的长 A1 D1 B1 C1 F

6、 A D E B C 17(本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示， 其中年龄分组区间是:20,25,25,30,30,35,35,40,40,45 (I)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500 名志愿者中年龄在35,40岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20 名参加中心广场的宣传活动，再从这20 名 中采用简单随机抽样方法选取3 名志愿者担任主要负责人记这3 名志愿者中“年龄低于35 岁”的人数为X， 求X的分布列及

7、数学期望 频率/组距 007 x 004 002 001 O 202530354045 年龄/岁 18(本小题满分 13 分) ex 已知函数f x ，其中a为正实数，e 2.718 1 ax2 (I)若x 1 是y f x的一个极值点，求a 的值; 2 (II)求f x的单调区间 19(本小题满分 14 分) x2y2 已知椭圆C : 2 2 1a b 0的两个焦点分别为F 1 ,F 2 ， 且F 1F2 2， 点P在椭圆上， 且PF 1F2 的 ab 周长为 6 (I)求椭圆C的方程; (II)若点P的坐标为2,1，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，点P到

8、直线l的距离为d，且M,O,P三点共线求 20(本小题满分 13 分) 已知函数 f x 2ae 1,gx ln x lna 1ln2 ，其中a为大于零的常数，e 2.718，函数 x 1213 2 2 ABd 的最大值 1316 y f x的图像与坐标轴交点处的切线为l 1 ，函数y gx的图像与直线y 1交点处的切线为l2，且l1/l2 (I)若在闭区间1,5上存在x使不等式x m x f x x成立，求实数m的取值范围; (II)对于函数y f x和 y gx公共定义域内的任意实数x 0 ，我们把 fx 0 gx 0 的值称为两函数在 x 0 处的偏差求证:函数y f x和 y gx在其

9、公共定义域内的所有偏差都大于2 顺义区 2013 届高三第二次统练数学试卷(理工类) 参考答案 一、 1、A2.B3.B4.A5.B6、C7、D8、C 二、 936 12 4 三、 10 42100 25 2 , 69 15 x 13 2 2,0 , y 3 11 1 2 14 6 13 3 2 3 3 cossin sin 22 2 1 1333 15解:(I) f 1 22 3 2cos2 32 11 0 4 分 22 (II)cosx 0，得x k 2 k Z Z ,k Z Z 2 3 cosx sin x sin2x11 sin x3 cosx sin x 因为f x 2cosx22

10、3131cos2x1 sin2x sin2x sin2x 22222 31 sin2x cos2x sin2x ， 226 2 所以f x的最小正周期为T 2 3 k Z Z， 因为函数y sin x的单调递减区间为2k ,2k 22 3 由2k 2x 2k,x k k Z Z， 2622 2 得k x k,x k k Z Z， 632 2 k Z Z13 分 所以f x的单调递减区间为 k ,k ,k ,k 62 23 16(I)证明:在长方体ABCD A 1B1C1D1 中， 因为A 1B1 平面A 1 ADD 1 ，所以A 1B1 AD 1 因为AA 1 AD，所以四边形ADD 1 A

11、1 为正方形， 因此AD1 A 1D ，又A 1 B 1 A 1 D A 1 ，所以AD1平面A 1B1D 又A 1B1 /CD，且A 1B1 CD，所以四边形A 1B1CD 为平行四边形 又E在CD上，所以AD1平面A 1B1E 4 分 (II)取AB1的中点为N，连接NF 11 因为F为AA 1 的中点，所以NF / A 1B1 且NF A 1B1 ， 22 故f x的定义域为 xR R x k 1 CD，而CD/ A 1B1 ，且CD A 1B1 ， 2 所以NF / DE，且NF DE，因此四边形NEDF为平行四边形， 所以DF /EN，而EN 平面AB1E，所以DF /平面AB1E9

12、 分 (III)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz，设AB a， a 则A0,0,0,D0,1,0,D10,1,1 ,E ,1,0,B 1 a,0,1， 2 z a 故AD1 0,1,1 , AB 1 a,0,1 , AE ,1,0 2 A1 由(I)可知AD1平面A 1B1E ， 因为E为CD的中点，所以DE 所以AD 1 是平面A 1B1E 的一个法向量 设平面AB1E的一个法向量为n x, y,z， 则n AB1 0,n AE 0， D1 B1 F N C1 ax z 0, 所以a x y 0 2 a 令x 1，则y ,z a， 2 a 所以n 1, ,a 2 设AD 1

13、 与n所成的角为，则cos y A x B a a 2 2a 2 1 a2 4 3a 2 E D C n AD 1 n AD 1 因为二面角A B1E A 1 的大小为45，所以cos cos45 ，即 5a2 2 1 4 2 ， 2 解得a 1，即AB的长为 114 分 17解:(I)小矩形的面积等于频率，除35,40外的频率和为 070， 10.70 0.063 分 5 500 名志愿者中，年龄在35,40岁的人数为0.065500 150(人) x (II)用分层抽样的方法，从中选取20 名，则其中年龄“低于35 岁”的人有 12 名， “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名 故X的可能

14、取值为 0，1，2，3， 31C 8 C 12C8 2 1428 ，PX 1，PX 0 3 328595C 20 C 20 213C 12C8 C 12 4411 ， PX 2P X 3 3395C 20 C 20 57 故X的分布列为 X P 0123 14 285 28 95 44 95 11 57 所以EX 0 18解: f x (I)因为x13 分1 23 28595955795 ax22ax 1ex 1 ax 2 2 1 是函数y f x的一个极值点， 2 14 1 所以 f 0 ，因此a a 1 0，解得a 34 2 441 经检验，当a 时，x 是y f

15、 (x)的一个极值点，故所求a的值为4 分 332 ax22ax 1ex 2 fx 0ax 2ax 1 0 (II) f x 令得 a 0 2 2 1 ax (i)当 2a 4a 0，即a 1时，方程两根为 2 2a 4a2 4aa a2 aa a2 a x 1 ,x 2 2aaa 此时 f x与 fx的变化情况如下表: x 2 , aa a a a a2a a a a2 aa a2 a , aa f x fx 2 a a2a a a a , a a 0 极大值 0 极小值 2 a a2 aaa a ,; 所以当a 1时，f x的单调递增区间为 ,， aa a a2 aa a2 a ,fx的单

16、调递减区间为 aa 22 (ii)当 4a 4a 0时，即0 a 1时，ax 2ax 1 0， 即 f x 0 ，此时f x在,上单调递增 所以当0 a 1时，f x的单调递增区间为,13 分 19解:(I)由已知得2c 2且2a 2c 6，解得a 2,c 1， x2y2 13 分 又b a c 3，所以椭圆C的方程为 43 (II)设Ax1, y1,Bx2, y2 当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合， 显然M,O,P三点不共线，不符合题设条件 故可设直线l的方程为y kx mm 0 y kx m, 222 3 4kx 8kmx 4m 12 0 由 2 消去

17、整理得 y 2 3x 4y 12 2222 则 64k m 43 4k 4m 12 0， 222 8kmx x , 12 4km3m3 4k2 , 所以点的坐标为M 22 23 4k3 4k x x 4m 12 12 3 4k2 3m 2km3 k 因为M,O,P三点共线，所以kOM kOP,，因为，所以， m 0 23 4k23 4k2 x 1 x 2 m, 222 此时方程为3x 3mx m 3 0，则 312 m 0 ， m23 x1x2 3 13 2 222 2 所以AB x 2 x 1 y 2 y 1 1 k x 1 x 2 4x 1 x 2 12m2 ， 12 82m2m4 又d

18、， 22133 2 m4 3 m 4 52 ， 1213 2 2 所以ABd 12m2 13164433 5241213 2 2 故当m 2 3,0时，13 分ABd的最大值为 313163 x 20解:(I)函数y f x的图像与坐标轴的交点为0,2a 1，又 f x 2ae ， f 0 2a 2 2 函数y gx的图像与直线y 1的交点为2a,1， 又 g x 11111 ，g2a由题意可知，2a ,a2 ，又a 0，所以a 3 分 x22a2a4 x f x x可化为m x x f x x，即m x xex 不等式x m 令hx x 1 xxex，则 h x1 x e ， 2 x 1 x 0, 1 xx 2 又x 0时，ex1，x e 1， 2 x 2 x 故 h x 0 ，hx在0,上是减函数，即hx在1,5上是减函数， 因此，在闭区间1,5上，若存在x使不等式x m 只需m h11e， 所以实数m的取值范围是,1e8 分 (II)证明:y f x和