北京高考文科数学试题及(整理版)

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷） 本试卷满分 150 分，考试时 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效， 第一部分（选择题第一部分（选择题共共 4040 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1已知集合A1,0,1，B x|1 x 1，则AI B （） A0B1,0C0,1D1,0,1 2设a，b，cR，且a b，则（） Aac bcB 11 Ca2 b2Da3 b

2、3 ab 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（） Ay 1 x2 By eCy x 1Dy lg x x 4在复平面内，复数i(2i)对应的点位于（） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 5在ABC中，a 3，b 5，sin A 1 ，则sin B （） 3 A 515 BCD1 359 6执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） 2 3 13610 CD 21987 A1B y2 1的离心率大于2的充分必要条件是 7双曲线x m 2 Am 1 Bm 1 2 Cm 1Dm 2 8如图，在正方体ABCD A 1B1C1D1 中，P为对角线BD 1 的三等分点，则P到

3、各顶点的距离的不同取值有（） A3个B5个D64个C 个 第二部分（选择题第二部分（选择题共共 110110分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9若抛物线y 2px的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。 10某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 2 11若等比数列a n满足 a 2 a 4 20，a 3 a 5 40，则公比q ；前n项和Sn。 x 0 12设D为不等式组2x y 0所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值 x y 3 0 为。 log 1 x,x 1 2 13

4、函数f (x) 的值域为。 x 2 , x 1 uuu ruuu ruuu r 14向量A(1,1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D由所有满足AP AB AC（1 2，0 1） 的点P组成，则D的面积为。 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤） 15 （本小题共 13 分） 已知函数f(x)(2cos x 1)sin 2x （1）求f(x)的最小正周期及最大值。 2 1 cos4x 2 （2）若(2, )，且f( ) 2 ，求的值。 2 16 （本小题共 13 分） 下图是某市

5、 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该市，并停留2 天。 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率。 （2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。 （3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17 （本小题共 14 分） 如图， 在四棱锥P ABCD中，AB/ /CD，AB AD，平面PAD 底面ABCD，CD 2AB，PA AD， E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA底面ABCD

6、（2）BE / /平面PAD （3）平面BEF 平面PCD 18 （本小题共 13 分） 已知函数f (x) x2 xsin xcos x （1）若曲线y f (x)在点(a, f (a)处与直线y b相切，求a与b的值。 （2）若曲线y f (x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围。 19 （本小题共 14 分） x2 y21相交于A，C两点，O是坐标原点 直线y kxm（m 0）W： 4 （1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。 （2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。 20 （本小题共 13 分） 给定数列a1，a2，L

7、 L，an。对i 1,2,3,L ,n1，该数列前i项的最大值记为A i ，后ni项ai1，ai2， L L ，a n 的最小值记为Bi，di A i B i 。 （1）设数列a n为 3，4，7，1，写出d 1 ，d 2 ，d3的值。 （2）设a1，a2，L L，an（n 4）是公比大于1的等比数列，且a 1 0，证明d 1 ，d 2 ，L L，d n1 是等比 数列。 （3）设d1，d2，L L，d n1 是公差大于0的等差数列，且d1 0，证明a1，a2，L L，an1是等差数列。 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷）参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8

8、 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 1B2D3C4A5B6C7C8B 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 92，x 1103112，2n11 12 2 5 13(,2)143 5 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤） 15 （本小题共 13 分） 解： （1）f (x) (2cos x1)sin 2x cos2xsin2x 2 1 cos4x 2 1 cos4x 2 11 sin

9、4xcos4x 22 2 sin(4x) 24 所以，最小正周期T 当4x 2 42 k （kZ）时 216 4 2k 2 （kZ），即x f (x)max 2 2 （2）因为f () 所以sin(4 因为 22 sin(4) 242 4 ) 1 917 4 2444 59 所以4 ，即 4216 ，所以 16 （本小题共 13 分） 解： （1）因为要停留 2 天， 所以应该在 3 月 1 日至 13 日中的某天到达， 共有 13 种选择，其间重度污染的有两天， 所以概率为P 1 2 13 （2） 此人停留的两天共有13 种选择， 分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5

10、,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)， (9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14) 其中只有一天重度污染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共 4 种， 所以概率为P 2 4 13 （3）因为第 5，6，7 三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。 17 （本小题共 14 分） 证明：（1）因为PA AD，平面PAD 底面ABCD且平面PADI底面ABCD AD 所以PA底面ABCD （2）因为E和F分别是CD和PC的中点，所以EF / /PD， 而EF 平面PAD，PD平面PAD，所以BE / /平面PAD （3）因为PA底面ABCD

11、，CD 平面ABCD 所以PACD，即CD PA 因为AB AD，CD/ /AB，所以CD/ /AD 而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAI AD A 所以CD 平面PAD 因为AB/ /CD，所以CD 2AB，所以四边形ABED是平行四边形， 所以BE / /AD，而BE 平面PAD，AD平面PAD 所以BE / /平面PAD，同理EF / /平面PAD， 而EF 平面BEF，BE 平面BEF且EF I BE E 所以平面BEF / /平面PAD， 所以CD 平面BEF / / 又因为CD 平面PCD 所以平面BEF 平面PCD 18 （本小题共 13 分） 解： （1）f (x) 2x

12、 xcosx x(2cosx) 因为曲线y f (x)在点(a, f (a)处的切线为y b 所以 2aacosa 0 f (a) 0 a 0 ，即 2 ，解得 f (a) bb 1a asinacosa b （2）因为2cosx 0 所以当x 0时f (x) 0，f (x)单调递增 当x 0时f (x) 0，f (x)单调递减 所以当x 0时，f (x)取得最小值f (0) 1， 所以b的取值范围是(1,) 19 （本小题共 14 分） 解： （1）线段OB的垂直平分线为y 因为四边形OABC为菱形， 所以直线y 1 ， 2 1 与椭圆的交点即为A，C两点 2 x21 y21，令y 得x 3

13、对椭圆 42 所以AC 2 3 （2）方法一：当点B不是W的顶点时， y kxm 222 联立方程 x 2得(14k )x 8kmx4m 4 0 2 y 1 4 设A(x 1, y1) ，C(x 1, y2 )， 4m248km 则x 1 x 2 ，x 1x2 ， 2214k 14k y 1 y 2 kx 1 mkx 2 m k(x 1 x 2 ) 2m 8k2m 2m 214k 2m 214k 22 若四边形OABC为菱形，则OA OC，即OA OC 2222 所以x 1 y 1 x 2 y 2 即(x 1 x 2 )(x 1 x 2 ) (y 2 y 1)(y2 y 1) 因为点B不是W的

14、顶点，所以x 1 x 2 0， 所以 x 1 x 2 y 2 y 1 y 2 y 1 x 1 x 2 8km 214k 即 k，即k 4k 2m 14k2 所以k 0 此时，直线AC与y轴垂直，所以B为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾， 所以四边形OABC不可能为菱形 方法二： 因为四边形OABC为菱形，所以OA OC， 设OA OC r（r 1） x2 y21的交点 则A，C两点为圆x y r与椭圆 4 222 x 2 y2 r2 4(r21) 2 2 联立方程x得x 23 y 1 4 所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点B在W上 若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或

15、右顶点。不合题意。 若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形OABC不可能为菱形。 20 （本小题共 13 分） 解：（1）d1 A 1 B 1 31 2，d 2 A 2 B 2 41 3，d 3 A 3 B 3 71 6 （2）因为a1，a2，L L，an（n 4）是公比大于1的等比数列，且a 1 0 n1 所以an a1q 所以当k 1,2,3,L ,n1时，dk A k B k a k a k1 所以当k 2,3,L ,n1时， d k a a k1 a k1q(1q)k q d k1 a k1 a k a k1(1q) 所以d1，d2，L L，d n1 是等比数列。 （3）若d1，d2，L L，d n1 是公差大于0的等差数列，则0 d1 d2L dn1 a 1 ，a2，L L，an1应是递增数列，证明如下： 设ak是第一个使得ak ak1的项，则 A k1 A k ，Bk1 Bk，所以dk1 A k1 B k1 A k B k d k