3.1双曲线及其标准方程.ppt

1、,双曲线及其标准方程,椭圆是如何定义的?其标准方程是什么?,复习回顾,思考,与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆, 那么与两定点的距离的差是非零常数的点的 轨迹是什么样的曲线呢?,双曲线定义： 一般地,平面内与两个定点，距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,怎么画双曲线？,双曲线在实际生活中有广泛的应用,如热电厂的冷却塔的外形与轴截面的交线等等.,分析推导,MF1-MF2=2a(02aF1F2),x,o,M,y,F2,F1,1. 建系设点;,2. 写出适合条件的点M的集合；,3. 用坐标表示条件，列出方程；,4.

2、化简.,求曲线方程的步骤：,方程的推导,(-C,0),(C,0),(x,y),将上述方程化为：,移项两边平方后整理得：,两边再平方后整理得：,由双曲线定义知：,即：,设,代入上式整理得：,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,双曲线与椭圆之间的区别与联系,例题讲解,例2 相距2km的两个哨所A,B听到远处传来的炮弹爆炸声,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s.已知当时的声速为340m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.,解 设

3、爆炸点为P,由已知得 IPAI-IPBI=3404=1360(m) 因为IABI=2km=2000m1360m,又IPAIIPBI,所以点 P在以A,B为焦点的双曲线靠近B处的那一支上 . 如图建立平面直角坐标系xOy,由2a=1360,2c=2000,得 a=680,c=1000,b2=c2-a2=537600. 因此,点P所在曲线是双曲线,它的方程是,第一关审题关； 根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关文化关(用数学文化反映实际问题) 借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关数学关(用数学知识解决第二关提出的问题),例2 已知双曲线的焦点

4、在y轴上,并且双曲线上的两点P1(3, ),P2( ,5),求双曲线的标准方程.,分析 已知双曲线焦点的位置,可知双曲线标准方程的形式,利用曲线上的点,其坐标满足方程,从而建立a,b的方程,求出a,b.,解 因为双曲线的焦点在y轴上,所以设标准方程为,因为P1,P2在双曲线上 所以,解得,a2=16,b2=9,所以所求双曲线方程为,设有定点F1(3,0)和定圆F2：(x+3)2+y2=16,今有一动圆M和定圆F2外切,并且过点F1,求动圆圆心M的轨迹方程.,分析 因为圆心与圆上一点的距离是半径,又两圆外切有半径和为圆心距,可知|MF2|-|MF1|=4,从而有M的轨迹是双曲线的一部分.,解 设动圆M的半径为r,因为圆M过F1, 所以|MF1|=r,又因为圆M与圆F2外切,所以|MF2|=4+r. 从而有|MF2|-|MF1|=4 由双曲线的定义知M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲 线的一部分.又F1(3,0)F2(-3,0). 所以c=3,a=2,故b2=5 所以M的轨迹方程是,课堂练习,| MF