线性系统的频域分析方法

1、,自动控制原理,（A),引言,(1)高阶系统的分析难以进行； (2)当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行；,用时域法分析系统的性能比较直观、准确，但是求解系统的时域响应往往比较繁杂。,1.时域分析法的缺点,频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的研究自动控制系统的一种经典工程实用方法。是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。,2.频域分析法,频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法是统一的。,频域分析法的优点,(1)不必求解

2、系统的特征根，采用较为简单的图解法来研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少。 (2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。,(3)频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。,(4)便于系统分析和校正。根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，便于分析和校正。,2.频域分析法,第五章 线性系统的频域分析法,本章主要内容： 5.1 频率特

3、性 5.2 典型环节和开环频率特性曲线的绘制 5.3 频率域稳定判据 5.4 稳定裕度 5.5 闭环系统的频域性能指标,6,第五章 线性系统的频域分析法,本章要求： 正确理解基本概念； 掌握开环频率特性曲线的绘制； 熟练运用频率域稳定判据； 掌握稳定裕度的概念； 了解闭环频域性能指标。,7,5.1 频率特性,本节主要内容： 1、频率特性的基本概念 2、频率特性的几何表示,8,系统结构图如图:,设系统传递函数为,特征方程的根。,r(t)=Asint,S1, S2 Sn,输出响应 c(t)?,C(s)=G(s)R(s),一、频率特性的基本概念,1.频率特性的定义,将C(s)按部分分式展开:,拉氏反

4、变换得:,设系统是稳定的，即S1, S2Sn的实部均小于零。,系统的稳态响应为,求待定系数:,同理:,代入,A1,系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(j)|,稳态输出与输入间的相位差为G(j)。,系统输入输出曲线,r(t),c(t),A,定义 :,系统的幅频特性：,系统的相频特性：,系统的频率特性 ：,A() =|G(j)|,-幅频特性,幅频特性曲线,幅频特性：,在正弦信号输入下，稳态输出与输入的幅值之比。,频率特性的物理意义： 稳定系统的频率特性等于输出和输入的幅值和相位的变化，这就是频率特性的物理意义。,-相频特性,相频特性曲线,相频特性：,在

5、正弦信号输入下，稳态输出与输入正弦信号的相位差。,右图为RC滤波网络，设电容C的初始电压为uo,取输入信号为正弦信号 ，曲线如图所示。,15,当响应呈稳态时，可以看出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。,A,B,16,其微分方程是,网络的传函,输出电压的瞬态分量,稳态分量,右图RC网络输入,频率响应,17,随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是,都是频率的函数,幅频特性,相频特性,18,幅频特性和相频特性统称为频率特性,频率特性: 线性定常系统的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比(频域）。,2.介绍几个名词：,幅值比：同频率下

6、输出信号与输入信号的幅值 之比。B/A 相位差：同频率下输出信号的相位与输入信号 的相位之差。,19,幅频特性：幅值比与频率之间的关系。,相频特性：相位差与频率之间的关系。,幅相特性： 将幅频和相频画到一起。,矢量端点的轨迹。,3.求取频率特性的方法：,实验法,20,利用传递函数求频率特性的方法：,系统的频率特性G(j)可以通过系统的传 递函数G(s)来求取：,利用传递函数求,已知系统的方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比,一般不用,21,例1:设单位反馈控制系统的开环函数为 ，若输入信号为： ，试求(1)稳态输出css(t) (2)稳态误差ess(t)?,解:(1)

7、,稳态输出：,22,(2),稳态误差：,23,将G(j)写成复数形式：,-实频特性,-虚频特性,幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：,4.频率特性的表示法,24,1.幅频相频形式: G(j)=|G(j)| G(j) 2.实频虚频形式: G(j)=P()+jQ() 3. 三角函数形式: G(j)=A()cosj()+jA()sinj() 4.指数形式: G(j)=A()ej(),频率特性的表示法,由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。,25,5. 频率特性与其它数学模型的关系,26,例2：设传递函数

8、为：,微分方程为：,频率特性为：,27,频率特性的极坐标图（幅相图）/奈魁斯特图,频率特性的对数坐标图/伯德图,频率特性的对数幅相图/尼柯尔斯图,二、 频率特性的几何表示法,28,系统的开环频率特性通常有三种表达形式:,1.通过频率特性G(j)的模| G(j)|与相位G(j)在极坐标中表示的图形,称为极坐标图(Polar plot)或奈魁斯特图( Nyquist plot) 。,2. 通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形,称为对数坐标图(Logarithmic plot)或伯德图(Bode plot)。,3. 用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表

9、达频率特性的图形称为对数幅相图（Log-magnitude-phase diagram）或尼柯尔斯图(Nichols chart) 。,29,1.极坐标图,当：0时，向量G(j )的幅值|G(j )|和相角j()随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图或Nyqusit图（奈氏图）。以横轴为实轴、纵轴为虚轴。,-幅相频率特性曲线（Nyqusit曲线）,是的偶函数， 是的奇函数， 因此，：0-时，G(-j)与G(j )关于实轴对称。,G(jw2 ),G(jw1 ),30,一般作图方法,(1)手工绘制 取=0和=两点，必要时还应在0 之间选取一些特殊点，算出这些点处的幅值和相角，然后

10、在幅相平面上作出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。 (2)用计算机绘制,31,2.伯德图,-对数频率特性曲线（Bode曲线）,伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，都以频率为横轴变量。,惯性环节,32,(1)伯德图的坐标,横坐标分度：,横坐标采用不均匀的对数刻度 纵坐标采用线性刻度,半对数坐标,线性分度：变量增大1时，坐标间距离变化一个单位长度。 对数分度：变量增大10倍时，坐标间距离变化一个单位长度。,33,纵坐标分度：,对数幅频特性曲线,L()-对数幅值,L()=20lgA(),对数相频特性曲线,单位：分贝(dB),单位：度(o)或弧度,以频率的对数值lg 进行线性分度，但为

11、了便于观察仍标以的值，因此对 而言是非线性刻度。,Dec(十倍频程)：每变化十倍，横坐标变化一个单位长度。,34,(2)使用对数坐标图的优点,由于横坐标采用对数刻度，展宽了低频段，压缩了高频段；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性,纵坐标采用L()=20lgA()可以将幅值的乘法运算转化为加法运算；,35,所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示；,对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。,36,(3)关于Bode图的说明,由于横坐标采用的对数刻度，所以=0不可能在横坐标上表示出

12、来；,横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。,37,本章主要内容： 1、典型环节及其频率特性 2、开环幅相曲线绘制 3、开环对数频率特性曲线绘制 4、传递函数的频率实验确定,5.2 典型环节与开环系统频率特性,一、典型环节的频率特性,38,系统的开环传递函数是由一系列具有不同传递函数的典型环节所组成,39,G(j)=K,A()=K,()=0o,1比例环节,0,K,Re,Im,比例环节的奈氏图,(1) 奈氏图,奈氏图是实轴上的K点。,G(s)=K,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,起始角，起始点的相位角,40,比例环节的伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,(2) 伯德图,20

13、lgK,0,L()/dB,L()=20lg A(),=20lgK,=0o,(),K不同时：幅频曲线上下平移，相频曲线不变。,41,对数幅频特性 L(w) =20lgK,相频特性 j (w)=0,比例环节,K1时,K=1时,K1时,42,2惯性环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,()=-tg-1T,(1) 奈氏图,绘制奈氏图近似方法:,根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.,=,A()=0,()=-90o,惯性环节的奈氏图,=0,A()=1,()=0o,取特殊点：,A()=0.707,()=-45o,可以证明：,惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为

14、半径的半圆。,43,整理得：,证 明:,44,传递函数,幅频特性：,相频特性：,K,45,(2) 伯德图, 1 / T频段,可用0dB渐近线近似代替。,(T)21,惯性环节的伯德图,(T)21,=-20lgT, 1 / T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替,两条渐近线相交点的频率为转折频率 =1 / T。,渐近线所产生的最大误差值为：,相频特性曲线：,=0,()=0o,()=-45o,=1/T,()=-90o,46,传递函数:,对数幅频特性,相频特性,渐近线,精确曲线,转折频率,转折频率,47,3积分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1) 奈氏图,积分环节奈氏图,()=-

15、90o,48,(2) 伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,积分环节的伯德图,L()=20lgA(),=-20lg,()=-90o,分析： w =1 , L=0 db w =10 , L=-20 db,49,对数幅频特性 L(w) = -20lg w,相频特性,分析： w =1 , L=0 db w =10 , L=-20 db,50,4微分环节,传递函数和频率特性,幅频特性和相频特性,(1) 奈氏图,微分环节奈氏图,G(s)=S,G(j)=j,A()=,()=90o,= 0,=,51,(2) 伯德图,微分环节的伯德图,对数幅频特性：,对数相频特性：,L()=20lgA(),=20lg,()

16、=90o,52,53,5一阶微分环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,G(s)=1+Ts,G(j)=1+jT,()=tg-1T,(1) 奈氏图,1,=0,一阶微分环节奈氏图,=0,A()=1,()=0o,= ,A()= ,()=90o,54,-转折/交接频率,高频渐近线斜率为20dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,低频渐近线为0dB的水平线,(2) 伯德图,55,对数幅频特性：,一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴.,G(j)=1+jT,56,微分环节,惯性环节,57,二阶微分环节,（）奈氏图,58,-转折/交接频率,（）伯德图,高频渐近线斜

17、率为40dB/Dec,对数幅频特性：,相频特性：,低频渐近线为0dB的水平线,59,伯德图,60,振荡环节,传递函数和频率特性：,幅频特性和相频特性：,61,振荡环节的奈氏图,(1) 奈氏图,=0,A()=1,()=0o,=n,()=-90o,=,A()=0,()=-180o,振荡环节的频率特性曲线因值的不同而异.,62,(2) 伯德图,对数幅频特性：,n,L()20lg1=0dB,n,对数相频特性：,=0,()=0o,()=-90o,=n,()=-180o,转折频率,=n,63,渐近线,振荡环节的伯德图,64,从图可知,当较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐

18、振频率r。,(00.707),可求得,代入得,精确曲线与渐近线之间存在的误差与值有关，过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。,65,渐近线误差,用渐进特性近似表示对数幅频特性存在误差,误差曲线为一曲线簇，根据误差曲线可以修正渐进特性曲线而获得准确曲线,.延迟环节,66,延迟环节的奈氏图是一个单位圆,(1) 奈氏图,1,=0,G(s)=e-s,G(j)=e-j,A()=1,()=-,c(t)=1(t-)r(t-),67,（2）伯德图,时滞环节的伯德图,()=-,L()=20lg1=0,延迟环节对系统的影响是造成了相频特性的明显变化,68,惯性环节,一阶微分环节,传递函数互为倒数的典型环节,对数

19、幅频特性曲线关于0dB线对称； 对数相频特性曲线关于0o线对称。,典型环节综合分析,69,纯微分环节,积分环节,70,振荡环节,二阶微分,71,常用典型环节伯德图特征表,72, 对于最小相位系统而言,幅频特性和相频特性 之间有着确定的单值关系。,最小相位传递函数：在复平面S的右半面既没有 极点、也没有零点的开环传递函数。, 若时,幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec, 其中n,m分别为传递函数中分母、分子多项式的 阶数,而相角等于-90(n-m),则系统是最小相 位系统。,最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。, 具有相同幅频特性的系统,最小相位系统的相角 变化范围最小。,最小相位

20、系统,73,非最小相位环节,开环传递函数中没有S右半平面上的极点和零点的环节, 称为最小相位环节; 而开环传递函数中含有S右半平面上的极点或零点的环节, 则称为非最小相位环节。,最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。而对非最小相位环节来说，就不存在这种关系。,74,(1)比例环节：,(2)惯性环节：,(3)一阶微分环节：,(4)振荡环节：,(5)二阶微分环节：,除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。,最小相位环节,非最小相位环节,的幅相曲线 幅相曲线,75,幅相曲线,76,对数频率特性曲线,77,对数频率特性曲线,78,对

21、数频率特性曲线,79,80,非最小相位的惯性环节,最小相位的惯性环节,其幅频特性相同，相频特性符号相反，幅相曲线关于实轴对称。,举例分析最小相位环节与非最小相位环节区别及联系,81,最小相位的惯性环节,非最小相位的惯性环节,对数幅频特性曲线相同； 相频特性曲线关于0o线对称。 这些特点同样适合于其他最小相位环节对。,82,二、系统的开环幅相频率特性曲线的绘制,系统的开环频率特性 通常是若干典型环节频率特性的乘积,极坐标形式：,求系统的开环幅相特性： 首先计算=0和=时开环频率特性的幅值 及相角, 然后分析或计算中间过程，绘制极坐标图。,（1）确定开环幅相曲线的起点 和终点 ；,83,绘制奈氏图

22、的三要素,（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点 或 为穿越频率，开环幅相曲线与实轴交点为,（3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。,84,例1 系统开环传递函数是 G(s)H(s)= 试绘制其极坐标图。,85,例2 系统开环传递函数是 G(s)H(s)= ,试绘制极坐标图。,86,例3 系统开环传递函数是 G(s)H(s)= 试绘制其极坐标图。,87,例4 比较下列函数的极坐标图：,每增加一个积分环节，频率特性就滞后90；,若增加个积分环节，频率特性就滞后90。,88,例5 比较下列函数的极坐标图：,结论：每增加一个一阶环节， 当时，相位应滞后90。,89,例6：比较下列函数的极坐标图：,

23、思考题：,最小相位系统奈氏图小结：,90,一般情况,1. 0型系统：无积分环节的系统，=0,91,2. 1型系统：有一个积分环节的系统，=1,3. 2型系统：有2个积分环节的系统，=2,=0时,=时,起始幅角与系统型号有关,n-m=1,n-m=2,n-m=3,终止幅角与n-m个数有关,92,4. 0时的渐近线,平行于虚轴的渐近线,平行于实轴的渐近线,93,5. 极坐标曲线与实、虚轴的交点,求与虚轴的交点，令实部为0。,求与实轴的交点，令虚部为0。,94,例1 某0型单位负反馈系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。 解：由于惯性环节的角度变化为-900，故该系统开环幅 相曲线中 起点为

24、： 终点为： 系统开环频率特性,95,令 ，得 ，即系统开环幅相曲线除在 处外与实轴无交点。 由于 、 可正可负，故系统幅相曲 线在第和第象限内 变化，系统概略开环幅 相曲线如左图虚线所示。 由于 ，而非最小 相位比例环节的相角恒 为 ，故此时系统概 略开环幅相曲线相对于最小 相位比例环节的曲线，绕原 点顺时针旋转 而得。,96,例2:设某型系统的开环传函为： (K,T1,T20)，试绘制其开环极坐标图。,解：,分析：,1.w=0时,当0时，G(j)渐近线是一条通过实轴-K(T1+T2 )，且平行于虚轴的直线。,97,2.当 w时,3.与实轴的交点,令：Q(w) =0,解得：,交点为：,极坐标

25、图：,98,例3 系统开环传递函数是 试绘制其极坐标图。,99,例4 已知系统的开环传递函数试 画出 该系统的开环幅相特性曲线。,解： n=m,()=tg-1-tg-1T,1) T,=0,A()=K,()=0o,0,A()K,()0o,=,A()K,()=0o,T 的奈氏图,2) T,=0,A()=K,()=0o,0,A()K,()0o,=,A()K,()=0o,T的奈氏图,100,例5 已知系统开环传递函数为 试概略绘制系统开环幅相曲线。 解 系统开环频率特性为 起点： 终点： 与实轴的交点：,101,因为 从 单调减至 ，故幅相曲线在第第象限与 第象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。,1

26、02,例1 已知开环传递函数，试画出系统,的开环对数频率特性曲线。,解：,1)将式子标准化解,2)画出各环节的对数频率特性曲线。,G1(s)=10,-20dBdec,3,1,4,2,(),L()/dB,L1,L3,L2,L4,1,10,0.5,-40dB/dec,-20dB/dec,G3(s)=0.1S+1,3）将各环节的曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。,三、系统的开环对数频率特性,103,例2：,系统开环传递函数如下，试画bode图。,步骤：,（1）找交接频率：,（2）写出频率特性表达式：,交接频率,104,（3）画渐近特性：,105,通过上例可知：,根据对数幅频特性曲线的低频段和

27、各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。,低频段幅频特性近似表示为：,低频段曲线的斜率,低频段曲线的高度,L()20lgK-20lg,-20dB/dec,L(1)=20lgK,106,绘制系统开环对数坐标图的一般步骤和方法:,写出以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘积形式的系统频率特性。,(2)求出各环节的转折频率,并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上。,(3)计算20lgK 的分贝值,其中K 是系统开环放大系数。 过=1,20lgK 这一点,做斜率为-20dB/dec的直线,此即为低频段的渐近线或其延长线,其中是开环系统包含串联积分环节的个数。,107,(4) 绘制对数幅频特性的其它

28、渐近线。 从低频段渐近线开始,从左到右,每遇到一个转折频率就按上述规律改变一次斜率。直到绘出转折频率最高的环节为止； 如有必要再利用误差曲线修正,得到精确对数幅频特性的光滑曲线。,(5) 画出各典型环节的相频特性，叠加后得到开环系统的相频特性曲线。,惯性环节：-20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec,注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！,例3 试绘制下列传递函数的对数坐标图。,108,-20db/十倍频程,-40db/十倍频程,-20db/十倍频程,-60db/十倍频程,例4绘制开环系统频率特性的对数幅频特性曲线,解

29、：,a.确定转折频率,1=1，,2=2.5，,3=5，,4=1/0.04=25,b.确定L()起始段的高度和斜率 过=1，L()=20dB点画斜率为-20dB/dec的直线,109,1,=1,2,=2.5,3,=5,4,=25,Kv,-20db/十倍频程,-40db/十倍频程,-20db/十倍频程,-40db/十倍频程,-80db/十倍频程,110,例5:画出系统的Bode图,解：,将式子标准化,各转折频率为：,1,-20dB/dec,20,2,-40dB/dec,-20dB/dec,-40dB/dec,(),L()/dB,1=1,2=2,3=20,低频段曲线：,20lgK=20lg10=20

30、dB,相频特性曲线：,=0,()=-90o,=,()=-180o,111,例6系统开环传函为： 试绘制系统的开环对数幅频特性。,解：,1.该系统是II型系统,2.低频渐近线过点(1,20),斜率为： -20=-40dB/dec,112,3.开环对数幅频特性：,一阶微分,振荡环节,惯性环节,斜率变化,环节,-20dB/dec,+20dB/dec,-40dB/dec,113,例8开环系统传函为： ， 试画出该系统的伯德图。,解：,1.该系统是1型系统,2.低频渐近线过点(1,20lgK),斜率为：-20=-20dB/dec,3.伯德图如下：,114,例9系统开环传函为： ， 试绘制系统的开环对数频

31、率特性。,解：,1.该系统是0型系统,2.低频渐近线过点(1,20),斜率为： -20=0dB/dec,3.开环对数幅频特性如下：,115,红线为渐近线，蓝线为实际曲线。,116,3）绘制低频段渐近特性线：由于一阶环节或二阶环节的对数 幅频渐近特性曲线在交接频率前斜率为 ，在交接频率处斜率发生变化，故在 频段内，开环系统幅频渐近特性的斜率取决于 ，因而直线斜率为 为获得低频渐近线，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法： 方法一：在 范围内，任选一点 ，计算 方法二：取频率为特定值 ，则,2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的 轴上；,1）开环传递函数典型

32、环节分解；,对数频率特性曲线绘制的步骤：,117,方法三：取 为特殊值0，则有 ，即 过 在 范围内作斜率为 的直线。显然，若有 ，则点 位于低频 渐近特性曲线的延长线上。,4）作 频段渐近特性线：在频段 ，系统开环对数幅频渐近特性曲线为分段折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。,118,注意：当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率 点处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。 以 的低频渐近线为起始直线，按交接频率 由小到大顺序和由表确定斜率变化，再逐一绘制直线。,119,四、传递函数的

33、频域实验确定,1.频率响应实验,2.传递函数确定,根据Bode图确定传递函数主要是确定增益 K 和的值，转折频率及相应的时间常数等参数。,120,1）= 0,低频渐近线为,系统的伯德图,20lgK,X,L()=20lgK=,即,（1）根据低频段渐近线或其延长线在 =1的分贝值，根据传函中积分环节的不同分别确定开环增益K。,121,低频段的曲线或其延长线与横轴相交点的频率为0,2）= 1,0,20lgK,L()=20lgK,=1,20lgK=20lg0,K=0,系统的伯德图：,因为,故,122,3）= 2,20lgK=40lg0,K=02,系统的伯德图：,L()=20lgK,=1,20lgK,低

34、频段的曲线与横轴相交点的频率为0,0,因为,故,123,(2)确定系统积分环节的个数； 低频段斜率为-20dB/dec，则系统开环传递函数有个积分环节，系统为 型系统。,(3)确定系统传递函数表达式； 当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。,124,0 =3.16,例1 最小相位系统如图所示，试求系统 的传递函数。,解:,对数频率特性曲线,1=0.5,2=2,K= (0)2 =10,125,例2.已知某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线如图所示，试确定其传递函数。,(1)确定系统积分环节的个数,= 1,解：,(2)确定系统传递函数,低频段的渐近线为-

35、20dB/dec,126,(0.1, 20)和(1, 20lgK)都位于-20dB/dec的直线上,K=1,(3)确定开环增益K,127,例3例5-7已知某最小相位系统的对数幅频曲线和对数渐进特性曲线如图所示，试确定其传递函数。,(1)确定积分环节(或微分环节)的个数,= -1,解：,(2)确定系统传递函数,低频段的渐近线为+20dB/dec,一个微分环节,128,(1, 0)和(1, 12)位于+20dB/dec的直线上,1 =3.98,(2, 12)和(100, 0)都位于-40dB/dec的直线上,2 =50.1,求1, 2 , ,129,K=1,(3)确定开环增益K,20lgK=0,谐

36、振峰值,130,例4 由实测数据作出系统的伯德图如图 所示，试求系统的传递函数。,0 =3.16,解:,由图可得：,20lgMr=3dB,Mr=1.41,得：,1=0.92,2=0.38,根据,取,=0.38,S2,3.162,由频率曲线得,G(s)=,(0.25S2+0.38S+1),(2S+1),131,例5 已知采用积分控制液位系统的结构 和对数频率特性曲线,试求系统的传 递函数。,解:,将测得的对数 曲线近似成渐近线:,(s)=,1,(S+1),(S/4+1), 5. 频率域稳定判据,本节主要内容： 1、奈氏判据的数学基础 2 、奈奎斯特稳定判据 3 、对数频率稳定判据,132,133

37、,奈奎斯特稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性，它是频率分析法的重要内容。 奈氏判据能够： 判断系统是否稳定(绝对稳定性)； 确定系统的稳定程度(相对稳定性)； 分析系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。,幅角定理,134,1.点的映射,闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s),s,F(s),奈魁斯特判据的数学基础是复变函数 理论中的映射定理,又称幅角定理。,一、奈氏判据的数学基础,135,2.围线的映射,z1 , z2 zm为F(s)的零点 p1 , p2 , pn为F(s)的极点,136,（1）在s平面上顺时针不包围F(s)任何零、极点的围线s

38、，映射到F(s)平面上的s必不包围F(s)的坐标原点。,137,（2）在s平面上顺时针包围F(s)的一个零点的围线s，映射到F(s)平面上的s必顺时针包围F(s)的坐标原点一周。,（逆时针）,（极点）,p0,138,（3）s平面上顺时针包围F(s)的z个零点（或P个极点）的围线s，映射到F(s)平面的s必顺（或逆）时针包围F(s)的坐标原点z(或P）周。,如果s平面上的封闭曲线以顺时针方向包围函数 F(s)的Z个零点和P个极点,则F(s)平面上的映射 曲线相应地包围坐标原点N次, = P -Z 若P , N为正值，包围方向为逆时针; 若P , N为负值，包围方向为顺时针。 这种映射关系,称为映

39、射定理。,一般情况：,139,设系统的特征方程为 F(s)=1+G(s)H(s)=0,代入特征方程,得,其开环传递函数,特征函数,140,闭环系统稳定的充分和必要条件是： 系统特征方程式的根,即F(s)的零点,都位 于S平面的左半平面,或者说F(s)的所有零 点都不在S平面的右半平面内。,s包围了根平面的整个不稳定区。 称作奈氏轨迹。,开环传函中无s=0极点,141,F（j）=1+G(j)H(j),G(j)H(j),的映射：,的映射：,以实轴为对称,142,在s平面上的奈氏轨迹线顺时针包围F(s)的P个极点和z个零点，那么奈氏轨迹线映射到GH平面的GH(j)为逆时针包围 (-1，j0)点N 周

40、，且N=P-Z。,式中： Z闭环系统不稳定的特征根的个数； P开环传递函数不稳定极点的个数。,二、奈魁斯特稳定判据,143,关于奈魁斯特稳定判据的说明： P=(即开环是稳定的）, 如果系统闭环是稳定的，则Z=0，所以N必为0, 也即开环频率特性曲线G(j)不包围(-1,j 0)点； (2) P0（即开环不稳定）,若使系统闭环稳定则Z=0，所以N=P-Z=P 即开环频率特性曲线G(j)逆时针包围(-1,j 0)点P周 （3） G(j)通过(-1,j 0)点时，系统处于临界稳定状态。,反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线GH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)圈数R等于开环

41、传递函数的正实部极点数P。,144,奈魁斯特稳定判据,145,例1 试用奈氏判据分析下面系统的稳定性。,解:频率特性,系统的奈氏曲线如图： 因为P=0，N=0， 计算Z=P-N=0， 所以该闭环系统是稳定的。,146,例2 系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。 G(s)H(s)=,P=0， N=0 Z=0， 系统稳定。,147,例3系统开环传递函数如下，试绘制其奈氏图。 G(s)H(s)=,P=0，N=-2 Z=P-N=2， 系统不稳定。,148,开环传函中有s=0的极点,s,P=0，N= -2 Z=P-N=2， 系统不稳定。,149,当开环传函有个s=0的极点时，起终点为=0、0的半径无穷

42、小半圆，映射到GH平面的频特是从=0起，以无穷大半径顺时针绕原点转过180后终止于=0点。,150,解:开环频率特性,幅频特性和相频特性：,151,(a)当 时：,因为P=0,N=0， 所以Z=0， 系统闭环稳定。,152,(b)当 时：,系统临界稳定,153,(c)当 时：,因为P=0,N=-2， 所以Z=P-N=2， 该系统闭环是不稳定的。,154,例5 设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：,先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(型系统),映射曲线顺时针包围(-1, j0)一圈，逆时针包围(-1, j0)一圈，所以：N=1-1=

43、0。 P=0 Z=P-N=0 闭环系统稳定,155,例6 某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。,解：,先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(型系统),映射曲线顺时针包围(-1, j0)两圈，所以：N=-2。 P=0 Z=P-N=2 闭环系统不稳定,156,对应的曲线为起始点 逆时针作半径无穷大、圆心角为 的圆弧，如图中虚线所示。,因为奈氏曲线为由 的范围变化时的曲线，因此含有积分环节时,注意：,157,通常，只画出=0+的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z=P-2N。式中，N为=0+变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的

44、圈数。,不包围(-1,j0)点，N=0,包围(-1,j0)点，N=-1,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数R。设N为 穿越 点左侧负实轴的次数， 表示正穿越的次数和（从上向下穿越）， 表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则,158,闭合曲线 包围原点圈数R的计算,（图a）,159,（图b）,（图c）,（图d）,D图中，b点从上向下运动至实轴停止为半次正穿越,点A，B为奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负实轴上 段的方向，分别有：,160,若规定G(j)H(j)曲线沿相角增加的方向，从上往下穿越负实轴上(-1,j0)点左侧为正穿越，正穿越次数为N+ 。从下往上的穿越为负穿越，负穿越次数为N-。G

45、(j)H (j)曲线起始或终止于负实轴上，算作1/2 次穿越。奈氏稳定判据可表述为：,161,系统的奈氏图与伯德图的对应关系,_,G(j) H(j),+,-1, j0,=0,-,_,+,c,=,(-1, j0)点,(1)奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； (2)奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180。相位线； (3)（-1，j0）点左侧对应于伯德图上L()0的部分。,三、对数频率稳定判据,162,奈氏曲线上的正负穿越与伯德图上的正、负穿越,正穿越-在L()0范围内从下向上穿越 -180。线(相角增加) 负穿越-在L()0范围内从上向下穿越 -180。线(相角减小),GK(j)对

46、(-1,j0)点的包围情况可用正、负穿越情况来表示。,正穿越-逆时针包围(-1,j0) 负穿越-顺时针包围(-1,j0),163,对数相频曲线 确定 1）开环系统无虚轴上极点时， 等于 曲线。,2）开环系统存在积分环节 时，复数平面的 曲线，需从 的开环幅相曲线的对应点 起，逆时针补作 半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线 较小且 的点处向上补作 的虚直线, 曲线和补作的虚直线构成 。,164,对数频率稳定判据：,设开环频率特性GK(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：=0+时，开环对数幅频特性L()0的所有频段内，相频特性对-180。线的正负穿越次数差N

47、=N+-N-=P/2。 闭环系统右半s极点数为：Z =-2N +P ，式中N为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z0，闭环系统不稳定。,例1 利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传 递函数为 解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。 由于开环系统稳定，即P0，因而该闭环系统稳定的 充要条件：在 dB的频域内，相频特性 不 穿越 线，或正、负穿越数之差为零。由图可见 在 的频域内 总大于 ，故闭环系统 是稳定的。,165,166,例2 利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函 数为 解：作出其开环对数频率特性，如下张图所示。 该系统开环传递函数含有2个积分环节,且 时,

48、 ，用虚线绘出相频特性的增补 部分。由图知 dB的频段上, 0， 1， R 2，而P 0，则Z2，闭环系统不稳定。,167,系 统 伯 德 图,168,例5-11 已知开环系统型次 ，开环对数相频特 性曲线如图所示，图中 时， ，试 确定闭环不稳定极点的个数。 解 因为 ，需在低频处 由 曲线向上补作 的 虚直线于 ，如图所示。 知 ， 按对数稳定判据 故闭环不稳定极点的个数为3。,169,170,四、条件稳定系统,若开环传递函数在s右半平面的极点数P0，当开环传递函数的某些系数(如开环增益)改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定是有条件的系统，称为条件稳定系统。 若无论开环传递函数

49、的系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。,本节主要内容： 1、相角裕度和幅值裕度的概念 2 、举例说明,171, 5. 稳定裕度,172,系统开环传递函数 G(s)H(s) =,开环频特GH(j)距离 (-1，j0)点的远近程度。可衡量系统的相对稳定性。,(-1，j0)点： 频率特性的幅值是1，幅角是-180。,一、稳定裕度,173,频率特性幅值为1时的相位与-180的差值。,相位裕度：,.稳定裕度在幅相图上的表示法,幅值为时,开环传递函数的频率,174,c,1,正相位 裕量,G(j),负相位 裕量,G(j),c, 00 时曲线包围（-1，j0）点 系统不稳定, 00时

50、曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定,175,相位为-180时频率特性幅值的倒数。,幅值裕度h：,开环传递函数与负实轴相交的频率,2.稳定裕度在对数坐标图上的表示法,176,相位裕度：,幅值裕度h(db):,177,c,正幅值裕量,正相位裕量,x,0,-90,-180,L()/dB,(),c,负幅值裕量,负相位裕量,x,稳定系统,不稳定系统,一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。 工程上： =30。60。，A()0.5，即L6 dB。,178,稳定裕度在极坐标图和对数坐标图上的表示法：,179,例1试求一单位反馈控制系统,当K=10和

51、K =100时,系统的相角裕度和幅值裕度。,2、K100 由图可得系统的相角裕度和幅值裕度分别为 = -25 h= -12db,1、K10 由图可得系统的相角裕度和幅值裕度分别为 =21 h=8db,20lg2=6db,20lg20=26db,180,辅助计算(K=10时),相角裕度：,幅值裕度：,181,例2 已知系统的开环传递函数,求系统的幅值裕量和相位裕量.,解：,G(j)H(j),-1,G(j),绘制出系统奈氏图:,求曲线与实轴的交点:,=P()+jQ(),令：,Q()=0,得：,x =3.16,可得幅值裕量：,1,= 11,令：,得：,c =0.784,=180o+(c),=180o

52、-90o-tg-10.78-tg-10.10.78,= 47.4o,182,例3 某位置控制系统的结构如图。试绘制 系统开环的伯德图，并确定系统的相 位稳定裕量 。,解：,绘制出系统伯德图如图:,183,6.32,-20dB/dec,-60dB/dec,-40dB/dec,L()/dB,(),由图用近似计算式可确定c。,c=6.32,=180o+(c),=180o-90o-tg-10.256.23-tg-10.16.23,=90o-57.67o-32.3o= 0.03o,例512 已知单位反馈系统 设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。 解： 可得 K=4时,184,K=10 时 分别作

53、出K=4和K=10 的开环幅相曲线即闭合曲线 ，如图 所示。由奈氏判据知： K=4 时，系统闭环稳定， ； K=10 时，系统闭环不稳定， 。,185,例514 单位反馈系统的开环传递函数为 试确定系统开环增益K5和K20时的相位裕度和幅值裕度。 解：由系统开环传递函数知，转折频率为 ， 。 按分段区间描述方法，写出对数幅频渐近特性曲线的表达式为,186,187,当K5时，要满足 ， 只能在区间1，10， 且 ，则 当K=20时，同理可得 ， ， 。 由前面知 求得 。,188,可求得当K5时，hL(x) 20lgK/ x26dB； 当K20时，h L(x) 6dB。 绘制K5和K20时对数频率特性曲线，如前面图所示。从 图中也可概略读出K5和K20时的幅值裕度。显然，当 K5时h 0dB,