计算流体力学第2讲差分方法.ppt

1、2020/8/6,第二讲 有限差分法（2）,李明军 湘潭大学 数学与计算科学学院 数学楼315； 52377625 email: ,计算流体力学讲义,第3节 差分格式的进一步分析,第4节 从模型方程推广到NS方程（Euler方程）,2020/8/6,第3节 差分格式的进一步分析,1. 耗散与色散误差,2.半离散分析与全离散分析 -如何理论计算修正波数,2020/8/6,1. 耗散与色散误差,3,Copyright by Li Mingjun,数值实验,时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小 （误差忽略） 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）,实验观察到的

2、现象 两类误差： 振幅误差 相位误差 （波速误差）,2020/8/6,4,Copyright by Li Mingjun,精确解,1阶迎风,2阶迎风,2020/8/6,5,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,6,对以上“实验现象”进行理论分析,考查问题：,精确解：,差分格式：,（1）,其他格式 ,假设对于：,有,隐含假设: 线性差分格式， 非线性 系统作用于单波， 会产 生多个谐波,（2）,差分没有误差,Copyright by Li Mingjun,1阶迎风格式：,2阶迎风格式：,2020/8/6,7,半离散分析： 假设时间推进是精确的，仅分析空间 离散带来的误

3、差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）,注意：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。若用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导形式上略显繁琐。,Copyright by Li Mingjun,精确解：,2.半离散分析与全离散分析 -如何理论计算修正波数,2020/8/6,8,令：,（1）式化为：,“半离散化”： 空间导数差分 计算，时间方程 （常微）精确计算,如果 ， 无误差！,Copyright by Li Mingjun,设：,精确解：,2020/8/6,9,分析 （修正波数）与误差的关系：,的误差导致解的幅值误差 耗散误差 的

4、误差导致解传播速度的误差 色散误差,Copyright by Li Mingjun,(理想情况： ),设,则,的实部：耗散误差 的虚部：色散误差,2020/8/6,10,含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差,任意函数：,定义：设 ，,求导数，精确解,差分解,Copyright by Li Mingjun,修正波数 定义 为：,2020/8/6,反映了一个波内的点数。 PPW （波内的点数）=,11,计算出 ，并考差其与 的逼近程度。,考察格式分辨率（resolution）的重要指标,优秀的差分格式，1个波长里面6个点 即可,Copyright by Li Mingjun,精度 分辨率,Fou

5、rier 分析的任务：,精度： 反映 时的情况,分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的 性能， 对于多尺度问题，分辨率更重要。 （牺牲精度， 提高分辨率）,2020/8/6,12,如何理论计算修正波数？,方法：根据差分具体表达式及定义计算,例1：,令,则：,其中 。于是：,1阶迎风格式：,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,13,例2：,2阶迎风格式：,令,则：,Copyright by Li Mingjun,其中 。,2020/8/6,第4节 从模型方程推广到NS方程（Euler方程）,4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质,4.2 对流项的分裂,

6、(2) 严格特征分裂 基架点上冻结系数,(1) 两类典型的逐点分裂,2020/8/6,格式F+ 格式F-,对流项：信息（波）从上游传至下游 ，上游更重要，迎风差分 扩散项： 信息从中心向周围扩散，不区分上、下游，中心差分 迎风差分优点： 有效利用信息传播的方向，增强稳定性,N-S方程：,单波方程：,单波方程： 一个波，容易判断波传播方向 N-S对流项（Euler）：方程组，多波问题， 复杂,15,Copyright by Li Mingjun,4.1 Jacobian 系数矩阵及其性质,2020/8/6,单波方程：,16,Copyright by Li Mingjun,对于正数a,说明波沿x正

7、方向传播，如下图所示：,采用空间向后差分格式：,何为迎风格式？,2020/8/6,微分与差分方程的影响域,双曲方程组的原则： 特征分解，找到独立传播的波,常系数矩阵A的情况：完全解耦，独立求解,变系数矩阵A的情况： 局部讨论,17,Copyright by Li Mingjun,(1) 常系数矩阵A,两类典型系数矩阵A：,2020/8/6,(2) 一般Jacobian 系数矩阵A,重要性质,特点： A 可以像常数一样，和求导运算交换,18,Copyright by Li Mingjun,N-S方程：,2020/8/6,4.2 对流项的分裂,方法： (1) 逐点分裂， (2) 严格特征分裂,(1

8、) 两类典型的逐点分裂,（利用性质,=,+,优点：耗散小 缺点：导数间断,A: Steger-Warming 分裂,19,Copyright by Li Mingjun,目的： 确定波传播方向，便于使用迎风差分,或者：,2020/8/6,Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）,已知,1） 计算 2） 计算 3） 计算 4） 代入（1）式得到 5） 利用不同的迎风格式，分别计算,（1）,（后差，前差）,6）,计算,7） 时间推进,20,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,二维问题的steger-Warming 分裂,令：,则：,具体使用步骤， 以计算

9、 为例,令 计算特征值 分裂特征值，计算 带入左式，计算正、负流通矢量 计算,计算 设置 ，并注意,对于曲线坐标系,仅需令,21,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,B: L-F分裂,特点：,正特征值 负特征值,=,+,缺点：耗散偏大,局部L-F分裂，每个点上计算 全局L-F分裂，全局（一维）上计算,足够大,数学性质（光滑性）最好，但耗散偏大,常数,例如，可取,22,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,23,Copyright by Li Mingjun,（人工粘性）,与迎风格式结合，等价于人工粘性,2020/8/6,方式很多，典型的

10、有3种,=,+,S-W:,L-F:,=,+,Van Leer:,=,+,24,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,25,Copyright by Li Mingjun,优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大,利用性质,逐点分裂的特征,2020/8/6,分裂后 失去了A的性质（可以像常数一样与求导交换）,变系数， 不能与导数交换,实质： 没有做到解耦； 只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正向传播，f-向负向传播 缺点： 由于未解耦，各变量的误差会相互传递,26,Copyright by Li Mingjun,一般

11、情况下,2020/8/6,概念澄清： 流通矢量分裂本身不带来耗散， 但其会影响到差分的耗散;,举例：,分裂过程：,（耗散）,如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。,分裂,差分格式,耗散,精确满足，不引入误差！,27,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,=,+,向上平移,向下平移,分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大,如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）,28,Copyright by Li Mingjun,如使用低阶精度差分格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用下面将介绍的特征分裂）,结论：,2020/8/

12、6,(2) 严格特征分裂 基架点上冻结系数,常系数方程组：,完全解耦,29,Copyright by Li Mingjun,优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。,2020/8/6,(a) 变系数情况: 局部冻结系数, j-2 j-1 j j+1 ,计算：,在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理,局部冻结系数,分 别 采 用 后 差 和 前 差,30,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,通常写成守恒型差分，计算, j-2 j-1 j j+1 ,在基架点上系数 不变,31,均可.,Copyright by Li Min

13、gjun,(b) 通量分裂表示,局部特征值采用 或者,2020/8/6,(c) 具体步骤,（1）,1） 计算出,各变量在j+1/2的值（例如 ）可使用j, j+1 点值的算术平均 （如 ）或Roe平均 ;,32,Copyright by Li Mingjun,假设初值 U， 且针对模型方程（线性单波方程）,已构造出差分格式,计算；方法很多，例如前面介绍的,或,由,2020/8/6,2） 在网格基上计算,计算fj+1/2用到的点,注意，在该网格基上（例如k=j-1, j, j+1） 保持不变,3) 利用已构造好的差分格式，计算通量,5） 计算差分 （j点处）,33,4） 得到总通量,Copyright by Li Mingjun,2020/8/6,(d) 算法描述例子,步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点) enddo enddo do j=1,N enddo,需要多次矩阵运算，计算量大 守恒性好，耗散小，数