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文档简介

1、,二 重 积 分,习题课(8),课件制作：于红香 全志勇,一、 内容总结,二重积分,定义（留意几何背景及物理背景）,性质（六条性质）,计算方法,直角坐标法,极坐标法,一般换元法,重积分计算的基本技巧,一，选择积分次序不仅要考虑区域的形状， 还要考虑被积函数的特点。,二，善用对称性及重心公式来简化二重积分。,三，巧妙选取极坐标系。一般来说，区域为圆形域， 或被积函数含 的，考虑选取极坐标系， 可使计算更为简单。,分块积分法,利用对称性,四，消去被积函数绝对值符号,五， 利用重积分换元公式,二、作业讲析,（略）,例1.,化二重积分 为直角坐标下的二次积分 ， 其中积分区域D是：,（1）由直线 及双

2、曲线 所围成的闭区域；,（2）环形闭区域 。,三、典型例题讲解,（1）由直线 及双曲线 所围成的闭区域；,解：如右图， 三线交点为p1(1,1), p2(2,2), p3(1/2,2)，,或,（2）环形闭区域 。,例2。,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,例3. 计算积分,解：因为 的原函数不是初等函数， 故只能交换积分次序。积分区域如右图：,例4. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例5. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,例6. 求由曲线所围成的第一象限部分闭区域的面积。,解：,令 ，则,故,例7. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,例8.,证明,证:左端,= 右端,=,四、练习题,1.设,则,2.计算下列二重积分：,3.设D是由圆 围成的闭区域，计算下列二重积分：,证明：,练习题答案,1.选A. 提示: 如图,由对称性知,在,上是关于 y 的奇函数,在,上是关于 x 的偶函数,3.（1）0 ；（2）,2.

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