342均值不等式习题课.ppt

1、3.4.2基本不等式的应用,1.定理 如果a,b是正数,那么,(当且仅当,时取 “=”).,.,2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2 ，等号当且仅当ab时成立.,1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abS，S为定值，则ab ，等号当且仅当ab时成立.,2最值定理：（推论）,(当且仅当,时取 “=”).,时取 “=”).,(当且仅当,时取 “=”).,时取 “=”).,(当且仅当,时取 “=”).,(当且仅当,时取 “=”).,复习,1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abS，S为定值，则ab ，等

2、号当且仅当ab时成立.,利用二次函数求某一区间的最值,分析一、,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二、,挖掘隐含条件,3x+1-3x=1为定值，且0 x,则1-3x0；,0 x,，1-3x0,y=x（1-3x）=,3x（1-3x）,当且仅当 3x=1-3x,可用均值不等式法,:,解:,变式一：,已知：0 x,，求函数y=x（1-3x）的最大值,如此解答行吗？,上题中只将条件改为0x1/8,即:,提醒：均值不等式求某些函数的最值时， 应具备三个条件：一正二定三相等。,练一练：下列四个命题中，正确的是：,运用公式的各项为正,等号,运用公式的各项为正,错题纠正：,错解:,即 的最小值为,过程

3、中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。,错因：,解:,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,正确解答是:,练习； 已知x 0，y 0，,求x + y的最小值。,解：,例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积 为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150 元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池 能使总造价最低，最低总造价是多少元？,设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得,解：,设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边

4、长为40m的正方形 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,练习：（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？,3.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元,以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？,4：某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的关系可近似地表示为 求年产量为

5、多少吨时，每吨的平均成本最低？,1、设 且a+b=3,求ab的最小值_。,2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0x2)的最大值是多少,4,训练,3.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元,以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？,答：这汽车使用10年时，它的年平均费用最少。,4：某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨 之间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间 的关系可近似地表示为 求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？,解：,每吨平均成本为（万元），则,当且仅当 ,即 时,取“

6、=”号,故年产量为吨时，每吨的平均成本最低,特别警示：,（）各项或各因式为正 （）和或积为定值 （）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等”,、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；,、应用均值不等式须注意以下三点：,（小结）,3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件。,1、求函数 (x0) 的最大值为 . 2、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和

7、池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元. 3、教材习题3.4 A B 复习参考题 A 6，7，8,作业,1已知 ，则下列结论不正确的是（ ） （A）a2|a+b|,D,3.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的 水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然 后做成一个无盖的水箱，问水箱边长取多少 时，水箱容积最大，最大的容积为多少？,2下列结论中，错用算术平均值与几何平均值不等式作依据的是（ ） （A）x，y均为正数，则 （B）a为正数，则 （C）lgx+logx102，其中x1 （D）,B,3若ab0，则下列不等式正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）,C,4若a

8、，bR，且ab，在下列式子中，恒成立的个数是（ ） a2+3ab2b2； a5+b5a3b2+a2b3； a2+b22(ab1)； （A）4 （B）3 （C）2 （D）1,D,5设a，b，c是区间(0，1)内三个互不相等的实数，且满足 ， , ，则p，q，r的大小关系是（ ） （A）qpr （B）qpr （C）rqp （D）qrp,C,6已知全集U=R，集合 ，集合 ，其中ab0，则 为（ ） （A） （B） （C） （D）,A,7在下列函数中，最小值是2的函数为（ ） （A） （B） （C） （D）,C,9 设x，yR，且x+y=5，则3x+3y的最小值是（ ） （A）10 （B）6 （C）

9、4 （D）18,D,10已知x1，y1，且lgx+lgy=4，那么lgxlgy的最大值是（ ） （A）2 （B） （C） （D）4,D,11已知函数y=2+3x2+ ，当x= 时,函数有最 值是 。,12若x3，函数 ，当x= 时,函数有最 值是 .,小,20,4,小,5,13若x0，y0，且x+y=1，当x= , y= 时，xy的最大值是 。,14求证： .(a3),15已知函数的解析式,（1）若x0，当x= 时，函数有最 值为 ；,（2）若x ，函数在这个区间上单调 ；当x= 时，函数有最 值为 ；,小,12,小,递减,（3）若x4，+)，函数在这个区间上单调 ；当x= 时，函数有最 值为 ；,递增,小,37,4,思考二：,3、 函数 的最大值为 . 4、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池