2.4线段的垂直平分线

1、2.4线段的垂直平分线,数学湘教版 八年级上,新知导入,如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA有什么关系？,我发现,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.,已知点A与点A关于直线l 对称，如果沿直线l 折叠，则点A与点A重合，AD=AD，1=2= 90，即直线l 既平分线段AA，又垂直线段AA.,l,A,A,D,2,1,(A),新知讲解,新知讲解,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.,由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（2）在线段AB的垂直平分

2、线MN上任取一点P, 连接PA，PB，,（3）测量PA、PB的长度，你有什么发现？,PA=PB,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,（4）你能用语言表达这个结论吗？,（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的 垂直平分线 MN；,新知讲解,N,M,P,O,A,B,（5）理由：,直线MN是线段AB 的垂直平分线，,沿直线MN折叠，点A与点B重合.,点A与点B关于直线MN对称,从而线段PA与线段PB重合,于是PA= PB.,由此得出线段垂直平分线的性质定理：,条件：点在线段的垂直平分线上,结论：这个点到线段两端的距离相等,新知讲解,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，

3、如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？,新知讲解,（1）当点P在线段AB上时，,因为PA=PB，,所以点P为线段AB的中点，,显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.,新知讲解,（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.,因为PA=PB，,所以PAB是等腰三角形.,过顶点P作PCAB，垂足为点C，,从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.,即 PCAB，且AC=BC.,因此直线PC是线段AB的垂直平分线，,此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,新知讲解,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,新知

4、讲解,点O在线段AB的垂直平分线上 OA=OB 同理 OB=OC OA=OC 点O在AC的垂直平分线上,证明：,例,已知：如图，在ABC中，AB,BC垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上.,新知讲解,课堂练习,1. 如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，B=30，BAC= 80， 求CAE的度数.,解, DE是AB的垂直平分线, AE=BE, BAEB30,又CAE+BAE=BAC, CAEBAC-BAE,80-30 50,课堂练习,2.如图，ABC中，AB=9cm,AC15cm，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，求

5、ABD的周长.,解:, DE是BC的垂直平分线, BD=DC, ABD的周长 =AB+BD+AD,=AB+DC+AD,=AB+AC,=9+15=24(cm),(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),课堂小结,拓展提高,3.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.,证明： AC =BC，AD=BD，, CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O,如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线,分析： 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两

6、点.,新知讲解,线段的垂直平分线的作法的应用：,1.作线段的中点.,因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.,2.过一点作已知直线的垂线,由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.,新知讲解,练习,用尺规完成下列作图 （只保留作图痕迹，不要求写出作法）.,课本72页练习1,2,课堂练习,课堂小结,课堂总结,本节课学到了什么？,1. 什么是线段的垂直平分线？,2. 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.,3.线段的垂直平分线的作法的应用.,板书设计,课题：2.4线段的垂直平分线,教师板演区,学生展示区,1.线段的垂直