2.1.4平面与平面之间的位置关系

1、12点、线、面之间的位置关系,12.4平面与平面的位置关系,栏目链接,课 标 点 击,1了解二面角及其平面角的概念 2掌握面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,判定两平面的位置关系,在以下四个命题中，正确的命题是_(填序号) 平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行； 平面内有无数条直线和平面平行，则与平行； 平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行； 平面内的两条相交直线和平面内的两条相交直线分别对应平行，则与平行,栏目链接,分析：需要对四个命题一一作出真假判断，而判断时要应用两个平面平行的定义，因此要严格对照定义，不满足定义的则应从反面进

2、行思考，即举反例进行判断 解析：对于，如下图(1)，正方体ABCDA1B1C1D1的面A1D1DA中，AD平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E、F，连EF，则知EF平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题错,栏目链接,对于，在正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行而是相交于直线A1D1，故是错的 对于，如上图(2)，平面平面l，ABC平面，A、B、C三点到平面的距离有可能相等，但与不平行，故是错的对于，命题是正确的，故填. 答案

3、：,栏目链接,规律总结：利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系的有关命题的真假，因此我们要善于灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系另外像判定直线与直线、直线与平面位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法,变式训练 1如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是_ 解析：如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形 答案：平行或相交,栏目链接,两平面平行的判定,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点求证：平面MNP平面A1BD. 分析：有两种方法可行：由于M、N

4、、P都为中点，故添加B1C、B1D1作为联系的桥梁；易证AC1平面PMN. 证明：方法一如图(1)，连接B1D1、B1C. P、N分别是D1C1、B1C1的中点， PNB1D1.,栏目链接,又B1D1BD，PNBD. 又PN平面A1BD， PN平面A1BD. 同理MN平面A1BD，又PNMNN， 平面PMN平面A1BD.,栏目链接,方法二如图(2)，连接AC1、AC. ABCDA1B1C1D1为正方体， ACBD. 又CC1面ABCD，ACCC1C， CC1BD.BD面ACC1.AC1BD.同理可证AC1A1B， AC1平面A1BD. 同理可证AC1平面PMN， 平面PMN平面A1BD.,栏目

5、链接,规律总结：本例的证明体现了证明面面平行的两种常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证线面平行或线线平行,栏目链接,变式训练 2如图，已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点 求证：平面DEF平面SAB.,栏目链接,证明：EF为SBC的中位线， EFSB. EF平面SAB，SB平面SAB， EF平面SAB. 同理DF平面SAB，EFDFF. 平面DEF平面SAB.,栏目链接,两平面平行的性质定理,如下图，已知两条异面直线a、b分别与三个平行平面、相交于点A、B、C和点P、Q、R，又AR、CP与平面分别相交于点N、

6、M. 求证：四边形MBNQ为平行四边形,栏目链接,分析：要证四边形MBNQ为平行四边形，只需证明两组对边分别平行即可，而四边形的两组对边所在直线分别为两个平面的交线，可以由面面平行的性质定理解决 证明：连接AP.， 平面ACP平面AP， 平面ACP平面BM， BMAP.同理QNAP. BMQN.同理可证BNMQ. 四边形MBNQ为平行四边形,栏目链接,规律总结：(1)通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理 证明线线平行现在主要有以下几种方法：定义法；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理以及性质定理的几个推论 (2)利用面面平行的性质定理判定两直线平行

7、的程序是：先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；判定这两个平面平行；再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；由定理得出结论,栏目链接,变式训练 3如图，正方体ABCDABCD中，点E在AB上，点F在BD上，且BEBF.求证：EF平面BBCC.,栏目链接,又EH平面BBCC， BB平面BBCC， EH平面BBCC. 又EHFHH，平面FHE平面BBCC. 又EF平面FHE， EF平面BBCC.,栏目链接,利用二面角解决相关问题,如右图，正方体的棱长为1，BCBCO.求： (1)AO与AC所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面 AOB与平面AOC所成

8、角的大小 分析：分别作出相应角的平面角，求其平面角的大小,栏目链接,解析：(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC. AB平面BCCB，OC平面BCCB， OCAB.又OCOB，且ABOBB， OC平面ABO. 又OA平面ABO，OCOA.,栏目链接,(2)作OEBC，平面BC平面ABCD，,栏目链接,规律总结：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角(0，90)、直线和平面所成的角(0，90)、二面角(0，180)三种求角度问题解题的一般步骤是：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角求角度问题不论哪

9、种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案,栏目链接,平面与平面垂直的性质及其应用,如图所示，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足 (1)求证：PA平面ABC； (2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形,栏目链接,分析：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来证明 证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于点F. 平面PAC平面ABC，且交线为AC， DF平面PAC.PA平面PAC，DFAP. 作DGAB于点G.同理可证DGAP. DG、DF都在平面ABC内，且DGDFD， PA平面ABC.,栏目链接,(2)连接BE并延长交PC于点

10、H.,E是PBC的垂心，PCBE. 又已知AE是平面PBC的垂线，PCAE. AEBEE，PC平面ABE.PCAB. 又PA平面ABC，PAAB，PAPCP. AB平面PAC. ABAC，即ABC是直角三角形,栏目链接,变式训练 4(2014北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点,栏目链接,(1)求证：平面ABE平面B1BCC1； (2)求证：C1F平面ABE； (3)求三棱锥EABC的体积 (1)分析：(1)利用已知条件转化为证明AB平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)