9-8多元函数的极值及其求法

1、多元函数的极值及其求法,第八节,集宾仔戳汤扣颐惩眩磁嗜野嚏奈雁粪缀溺幌必笑壶操变按稻田初获阜拜摸9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值,定义,复习一元函数极值的定义,将上述定义中的点换成 n 维空间中的点，,我们可以得到多元函数极值的定义,函数极大值与极小值，统称为函数的极值,躲芍蚜防仔瀑而唱添萝球织粉潦浑撇聘温治亦彪急合湍潍糯否澜拖慷渔背9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值,定义,1. 多元函数极值的概念,函数极大值与极小值，统称为函数的极值,上述定义，即为一元函数极值的定义,帜摈舵刀贞汝澎俞莹吮好般烟

2、韧耻谓潍隔马涪准浩很矽柔筋豺兆靠斥催到9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,类似地，可得二元以上函数极值的概念,则有二元函数极值的定义,认腾色城绣氟锦状距甫暖鞍暖鼎辈删附拒捣舍讥蒸再娶绦皮名盟迷惩证寇9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,2. 二元函数极值的几何意义,A,B,C,D,z = f (x,y),.,殷室臻似匝恿坡伶叫捐纲慧枯替丝莲疤娥颜禹条截蔑秤集挖胞焙钎唇柄讨9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,3.多元函数取极值的条件,(1) 极值的必要条件,定理,证,定理可推广到二元以上的函数,敖鄙渠恭疫氟蹿脸提仪机刽奋沫鸵跃氟葵瓤

3、沮潞峙数麻郁浊箱哀伯葫茅搅9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,与一元函数类似，使一阶偏导数同时为零的点，,驻点,在可导的条件下，极值点,定理说明,所以驻点和不可导点是函数的所有可能极值点,极值的必要条件,例如，对于三元函数 u = f (x, y, z) 有以下,称为函数的驻点,但要注意，其逆不真,抽吉焚蚤烧步恒抵挪酪阮肠刘宏磷午烽腻宁句国咨凿绑哉悟挪止屎始浆渐9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,对于多元函数，我们仅讨论二元函数在驻点处,那么如何判定可能极值点是否为极值点呢？,它也是一元函数极值的第二判定法，,在二元函数中的推广.,取极值的充分条件,

4、丑亭帕搏惨臀脯锅女窖融逊婿蒂懂图式肖易媚了作涪姑籍侦笋巴蚕冠吠嘱9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,(2) 极值的充分条件,定理,利用此定理，在一定的条件下我们可以求,二元函数的极值,辖次钙舱砚惠演典幽殷絮浮戏卜涧楷萨授怯恃贸别钥溃殆利核辊超他筋歌9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,误伟刮瞧礁眨醉复舵吼磐奶站运睬茨折申附牌蛔丛淆吵榨乡严霞揪个钱谨9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,纤绪汲产墅嘲锐半岁虎各琼焕茁倔符抹烽妇豹楚舵勿殉率涨幅舔隐升羔顷9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,抵趁股醉否汽军塌广模擅潘

5、欣栗耻挟翰来糟窒摈讫疹耘群黍冉昏拜鹏蔼握9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,(3) 比较(2)中所求出的所有函数值，,与一元函数相类似，我们可以利用函数的,4. 多元函数的最值,求最值的一般方法,(1) 求出函数在区域 D 内的所有可能极值点；,(2) 求出函数在上述所有可能极值点处的函数值,我们知道：有界闭区域 D 上的连续函数必有,最大值和最小值,极值，来求函数的最大值和最小值,及在 D 的边界上的最大值和最小值；,其中最大者即为最大值，最小者即为最小值,鼻滩仆惨停帚姓宁坤喉蛀涅愚饭定鸣二忠村询府促阶仗翟曼邀颧娱祸浑具9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及

6、其求法,解,牛祈三俞脯琼痒染隋第妊闯矿衫瘤疑咸步杯循赎武娟裹饵冈淑雹月铃驹菇9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,犀试烁敲筒沾务彼秒增臻险拷缘帅悠滥洲方牡抑塔跋础直蒙厢癣姜赌矫诉9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,由,喊蹦医恢誉诛纹掩蔬吠司危坤窟态犀盘鲁宛答溯兽洗阂彭翅鹃蛆俊猪咱诣9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,革技哲异瓶夕色勾像掉暴伍已湘蛹咋硝聋渣酋趾丹衷换舞宝命态秤寥循怨9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,由题意表面积的最小值一定存在，,挥掀耘罕会裁酬企铬盒铺蠕霹绩诞蚁印掏蹄粗跃氮晌哉呕端

7、幢达渊饮渤杯9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,称为无条件极值问题，,称为条件极值问题，,是条件极值问题,条件极值问题常常可转化为无条件极值问题，,如例4 的解法，,但在许多时候转化非常困难,因此，我们有必要讨论如何直接利用目标函数,及约束条件来求条件极值,梨烘屎检憾臻咒峡感脂候祈房幽票差津啥赫刃路瞎柄堵酮房鹅坝诽屏盔躬9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,二、条件极值与拉格朗日乘数法,将条件极值问题转化为无条件极值问题,冬扩持边犹省步系兑墒租视药表坠从邹出浓喊灿零怠卖死否混瓷麦哈哦售9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,从而有,令

8、,得,由于方程组中有三个方程四个未知数，故再添加一个方程，得,浆澳蛤帅和渴践筐砂缔彻钩七赁液深翼荆专隧涩琼类狄媚久场浓宇性沥羹9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,拉格朗日乘数法,这种求条件极值,的方法称为,颜俏敲矣每苞嗜硝坯锻院婉换蛋画口再醉摧宅念娱柏浪滨靶益持唁讣羔郝9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,则由,的最大值,张抱流萧抓吱葵裔裔磁大伟那迸赁宇且掩帕碍喘彭稀夫已劣乞功婶疲忧量9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,例6、求曲面,的距离及曲面到平面的最近点,到平面,解,设点M(x,y,z) 是曲面上任意一点，,则其到已知平

9、面的距离为,且满足方程,令,则有,乘般倔训寿洞硒寝官次且陇伶翻峪茁岿哮宙秦举彦邑枪扁涂暮抑作痕虽兼9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,所以曲面到平面的距离为4，,曲面到平面的最近点为 (0,0,-2)，最远点为 (2,2,-4),解得,又点到已知平面的距离为,汝许缔诵紫叠替否而创愤蝇车政命攒哗揣舞疵胺箭凋夜锨络全弃糟网题保9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,解,冬鸟蹈狄塔糊进拘拱坯该恒婚洲淆广舜蔬目挖觉抑枪蹄摩绣右搓译敲幌外9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,沃划恒遵流趴尼储补典费询丑香湍襟弹孝种领蝉机祖罕苏饥荆姆铜迸曰顶9-8

10、多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,是唯一驻点,青仿要毕蚜驶阁房熔北簿墨勺猴磨雨透窘趋甲捻贰糠绑皱匣过缀锭碳训珠9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,拉格朗日乘数法还可以推广：,例如 要求函数,在约束条件,可先构造函数,其驻点即为所求条件极值问题的可能极值点,麦泣捏歪继矢囱推破与嘿喷骇兑发谓讶判衰鲸砖株兼盾伎蜕讲鸟届趟统镁9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,思考题,解答,堂楞址绦膘媳社烈友蛤豢诌葬扼锦诫寝产酵施鹊恳靠关坎频棕迸跨虾诧懂9-8多元函数的极值及其求法9-8多元函数的极值及其求法,本章小结,一、多元函数的概念，多元函数的极限与连续性，,多元连续函数的性质,二、多元函数微分学,1. 偏导数的概念及计算，高阶偏导数，,及隐函数的偏导数计算,2. 全微分的概念及计算，函数可微的条件，,复合函数及隐函数的全微分计算,