23三角函数的概念

1、三角函数的概念,一、角的基本概念,1.角的概念,角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.,旋转开始的射线叫角的始边, 旋转终止位置的射线叫角的终边, 射线的端点叫角的顶点.,按逆时针方向旋转形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫负角, 如果一条射线没作任何旋转, 称它形成了一个零角.,角的三要素: 顶点、始边、终边.,2.角的分类,(1)正角、负角、零角；,(2)象限角、象限界角(象间角、轴线角),(1)与 角终边相同的角的集合:,3.几类特殊角的表示方法, | =k360+, kZ,或 | =2k+, kZ.,(2)象限角、象限界角(轴线角),象限角,第

2、一象限角: k360k360+90, kZ;,第二象限角: k360+90k360+180, kZ;,第三象限角: k360+180k360+270, kZ;,第四象限角: k360+270k360+360, kZ.,或 k360-90k360, kZ.,轴线角,x 轴的非负半轴: =k360(2k)(kZ);,x 轴的非正半轴: =k360+180(2k+)(kZ);,x 轴: =k180(k)(kZ);,(1)角度制,(2)弧度制,等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(1 rad)的角.,(3)弧度与角度的相互换算,4.角的度量,(4)扇形的弧长公式,扇形的面积公式,l =r|,二、任

3、意角的三角函数,1.定义,2.三角函数的符号,3.三角函数线,三角函数正值歌,正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限.,定义 与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.,或 一全二正弦, 三切四余弦.,即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略),区域,如果用 1, 2, 3, 4 分别表示第一、二、三、四象限角,熟记右图, 解有关问题就方便多了.,1.写出与 -1035 终边相同的角, 并指出其中属于 -4, 4 的角.,解: -1035=- 3360+45,与 -1035 终边相同的角为 k360+45(kZ).

4、,-5 是第一象限的角.,典型例题,证: 由已知可在角 的终边上任取一点 P(x, y)(x0, y0),x0, y0,解: (1)使 tanx 有意义的 x 的取值集合是,使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 x | xk, kZ,故所求函数的定义域是:,(2)要使原函数有意义, 则,6.设 是第二象限的角, 试问: -, -, + 分别是第几象限的角?,解: 是第二象限的角,- 是第三象限角,- 是第一象限角,+ 是第四象限角.,解法2 角 - 的终边与角 的终边关于 x 轴对称,由 是第二象限的角知 - 是第三象限的角;,角 - 的终边与角 的终边关于 y 轴对称,由 是第二象限的角

5、知 - 是第一象限的角;,角 + 的终边是角 终边的反向延长线,由 是第二象限的角知 + 是第四象限的角.,7.已知 在第二象限, 试确定 sin(cos)cos(sin) 的符号.,解: 在第二象限,-1cos0, 0sin1.,sin(cos)0.,sin(cos)cos(sin)0.,故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.,8.若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 求 的各三角函数值.,解: 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 是第三或第四象限的角.,课后练习,1.已知角 的终边上一个点 P 的坐标为(4t, -3t)(t0), 求 的正弦、余弦和

6、正切值.,解: 由已知有 x=4t, y=-3t, |OP|=r=5|t|.,2.写出适合下列条件的 x 的集合: (1)|cosx|sinx|; (2)|sinx|+ |cosx|1.,解: 由三角函数线易得所求集合分别为:,3.设 O 是坐标原点, 角 的终边上有点 M, |OM|=2, 角 的终边上有点 N, |ON|=4, P 为 MN 的中点, 求以 OP 为终边的角 的正切值.,解: 依题意可设 M(2cos, 2sin), N(4cos, 4sin),则 P(cos+2cos, sin+2sin).,当 cos+2cos0 时,当 cos+2cos=0 时, tan 不存在.,=0., 在第二或第四象限.,-1cos0, 0sin1.,sin(cos)0.,sin(cos)cos(sin)0.,故 sin(cos)cos(sin) 的