FINTS第四章线性ARMA模型.ppt

1、模型定阶或识别,假设数据已经平稳化，下一步是确定模型的阶数。有两种方法，一种是根据随机过程的参数特征，一种是根据信息准则。 下面是几类随机过程的参数特征：,三种随机过程偏自相关函数的特点,三类过程的偏自相关函数和自相关函数 MA（q） AR（p） ARMA（p，q） 自相关函数 q步截尾 拖尾 拖尾 偏自相关函数 拖尾 p步截尾 拖尾,定阶,样本自相关函数的计算和判断,定阶,H0：i =i+1 =0 用前面介绍的方法计算出样本自相关系数 ，零假设成立时 近似服从正态分布N(0,1/T) 所以近似5%显著水平下，每个 在两倍标准差之间，则不能拒绝零假设。,具体地说，如果 -2/ 2/ , 推断i

2、 =0。,定阶,当样本长度充分大时，估计的偏自相关系数满足：如果*k =0，kp 那么估计的偏相关系数近似服从正态分布 N（0，1/T） 所以近似5%显著水平下，如果-2/T1/2p成立,评价模型的优劣准则,根据信息准则进行模型识别(定阶),残差平方和最小化,AIC (Akaikes information criterion) BIC(Schwartz Bayesian information criterion)准则,对自由度进行调整 k是模型中未知参数的个数,et是估计出的误差,定阶： AIC准则和BIC准则,不同的书对AIC和BIC使用不同的变形。经常使用的有两种 AIC（p，q）=l

3、n( )+2(p+q)/T BIC（p，q）=ln( )+(p+q)ln(T)/T T样本长度，如果有常数项p+q被p+q+1代替，ln表示自然对数。在ARMA模型中需要选择p和q，所以用p+q代替k。 是对噪声项方差的估计,定阶： AIC准则和BIC准则,AIC（p，q）=2lnL/T+2(p+q)/T BIC（p，q）=-2lnL/T+(p+q)ln(T)/T LnL是模型的对数似然函数值 Q是与参数无关的量。因为我们只关心使得AIC或BIC最小的值，所以忽略Q.带入对数似然函数表达式中，可以发现与前面的AIC和BIC的表达是一致的。,AIC和BIC判断步骤,（1）给定滞后长度的上限P和Q

4、，一般取为T/10， Ln(T), （2）修改样本区间使得滞后长度不出现负值。 （3）对任意一对滞后长度p=0，1，P，q=0，1，Q，分别估计模型ARMA（p，q） （4）代入上面的公式，计算出AIC(p，q)和BIC(p，q) （5）最小值对应的p，q值作为ARMA模型的阶数。,用AIC和BIC准则确定阶数,AIC准则-MA(1) q 0 1 2 3 P 0 -7.415 -7.455 -7.426 -7.373 1 -7.39 -7.395 -7.422 -7.272 2 -7.433 -7.383 -7.174 -7.221,用AIC和BIC准则确定阶数,BIC-白噪声 q 0 1 2

5、 3 P 0 -7.415 -7.411 -7.338 -7.239 1 -7.346 -7.251 -6.998 -7.001 2 -7.345 -7.251 -6.998 -7.001,练习：,P179 15(9),极大似然估计:以AR(1)为例,t=c+t-1 +t 假设 i.i.d.N(0, 2) 估计: =( c, , 2) 已知: y1,y2,yT E(1)=c/(1-) E(1-)2=2/(1-2),极大似然估计,当1的观测已知时，2的条件分布 2=c+1 +2 （2|1= y1） N(c+y1, 2),极大似然估计,Y1,Y2的联合分布密度函数，是条件密度和边际密度相乘 f2，

6、Y1 (y2，y1; )= f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 类似的，已知y1,y2，3的条件分布,极大似然估计,三者的联合分布 f3，2，Y1 (y3，y2，y1; )= f3|Y2，Y1 (y3|y2，y1; ) f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 一般给定y1,y2,yt-1，t的条件分布只和yt-1有关,极大似然估计,ft,Yt-1，,Y1 (yt, yt-1，,y1; ) = f1 (y1; ) ft|Yt-1(yt|yt-1; ),（4.17）,估计：满足下面的条件的解 求解未知参数的方程是非线性的，如果只关心（2，T）的条件联合分布，得到条件极大

7、似然函数。,极大似然估计,同样通过解方程来得到未知参数的估计：,这时得到的是线性方程组,最小二乘估计法：计算例子- produce a stationary AR(2) process: yi=-0.6yi-1+0.80yi-2+xi and find the estimate of parametersMatlab code:,x = randn(1000, 1); y = filter(1, 1 -0.6 0.08, x); %产生上述AR(2)过程 m = ar(y,2),模型的检验,检验残差是否是白噪声过程 1）画出残差的折线图 2）画出残差的ACF,PACF 3)计算统计量Q Box

8、-Pierce Q-检验 其中，T为样本容量 Ljung and Box,检验,Q检验 1）m主观给定，一般在15到30之间，可令m=T1/2 2）H0：t是白噪声过程 3) H0成立时，统计量Q渐进服从2（m-p-q)，如果 模型中包括常数项，那么Q渐进服从2(m-1-p-q) 4）Q检验会给出相应的P-值（P-值0.05拒绝H0）,Q检验图示,真实临界值,计算值,卡方分布临界,Q检验存在缺陷:经常不能拒绝零假设。 把不是白噪声时，也误认为是白噪声,检验练习,例m=6，模型中有常数项，考虑下面的几个模型，哪个模型是合格的模型？给出其它几个模型Q检验统计量的自由度。 (p+q) Q 自由度 P

9、-value (1,0) 15.92 6-1-0-1 0.019 (2,0) 11.82 0.249 (0,1) 4.12 0.139 (0,2) 6.94 0.21 (1,1) 7.94 0.047,模型选择,一个好模型满足的条件 每个解释变量都显著不等于0. 残差是白噪声过程 具有最小的AIC或BIC值,练习：从下面的几个模型中选择一个最优模型,AR(1) AR(2) AR(3) ARMA(1,1) MA(2) 1 0.17 0.21 0.3 0.19 ( 0.0000) (0.0004) (0.002) (0.0024) 2 0.06 0.04 (0.0005) (0.003) 3 0.0005 (0.44) 1 0.05 0.48 (0.0007) (0.0034) 2 0.06 (0.009) AIC 607.3 592.5 615 598.4 609.5 BIC 609.9 594.3 607