章建跃--把握数学核心概念-提高课堂教学有效性.ppt

1、把握数学核心概念 提高课堂教学有效性,人民教育出版社 章建跃 ,一、提高“理解数学”的水平,老师理解好数学是提高教学质量的前提。 理解数学概念的几个方面：从表面到本质把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是重点 。,例1 几个数学概念的解读,如何理解诱导公式？ 推导等差数列前n项求和公式的思想方法是什么？ 如何理解两个变量的线性相关问题？,例2 如何理解“乘法公式”,代数以符号(不定元)代表数； 代数学的根源在于代数运算；

2、 代数运算有一系列普遍成立的运算律：交换律、结合律、分配律、指数法则； 代数学的基本思想：有效、有系统地运用运算律去解答各种各样的代数问题。,多项式运算,多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）； 两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算。,乘法公式蕴含的思想方法,乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察： (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即 （1）a=c，b=d时有平方差公式； （2）a=c，b=d

3、时有完全平方和公式；等。 从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。,二、高立意与低起点,立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。 数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。 关键：提高思想性。,例3不等式基本性质“立意”比较,以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”： 性质1，2，3证明例题练习、习题,人教A版的教学设计

4、,数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小可以化归为比较它们的差与0的大小）； 从“数及其运算”的高度出发，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为思想指导，以等式的基本性质为起点，通过类比等式的基本性质，得到不等式基本性质的猜想；,回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，得出性质，给出证明； 引导学生用不同语言表述“基本性质”； 从实例中概括基本不等式的作用明确概括出思想方法。 核心：将等式与不等式纳入数及其运算的系统中，成为用运算律推导出的“性质”。 既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领悟思想的进程。,为什么这样设计,（在没有引领的情况下很难“悟”出思想）； 要

5、正确理解“给学生留出思维空间”以往教学在技能方面空间太小，思想方面空间太大。,例4 四边形的“先行组织者”,概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特殊等腰三角形，性质、判定）相似三角形（性质、判定） 目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。,引导学生类比，思考“四边形”研究的问题、线索和方法等： 一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）； 特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手； 边的特殊性平行四边形：性质和判定；“

6、性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；,特殊的平行四边形：角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。 研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识； 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形； 梯形,例5 三角函数的核心,三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，是匀速圆周运动的本质表现。 角是“转”出来的，与单位圆上的点（x，y）可以建立一种对应关系。 研究匀速旋转最重要的是研究单位圆上的点（

7、x，y）随旋转角的变化而变化的规律，即研究x和y作为角 （弧度制）的函数三角函数是圆的几何性质的代数表示。,技术上，充分利用单位圆研究三角函数的图像与性质，其中特别是与圆的对称性相关的性质。,提高课堂教学的立意，是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。 当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段竭泽而渔。,三、怎样才是抓“基础”,我国“双基”的优势正在丧失； 现象：（1）数学教学=题型教学=刺激反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教

8、学应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。,如何改变？,要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能； 不断回到概念去，养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯； 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。 应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。,例6 向量加法运算及几何意义的教学设计,先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究运算律。 位移、力的合成、速度的合成等物理原理的回顾。 学生

9、带着问题看书：向量的加法法则的关键词是什么？你如何理解？,汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词”的理解，要求用自己的语言描述。 向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作法。 如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理数加法运算有什么关系？ 从三角形法则我们有 ，变形有 ，你怎么看变形？ 平行四边形法则的代数意义是什么？,例7 关于“配方法”,概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a 依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2 步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数一半的

10、平方。,一元二次方程的求根公式,从最简单的开始：x 2=a；变式：(xp) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通过开方将方程“降次”）。 对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到化归为(xp) 2=q就能解的思想方法，追问“如何化归”，获得“配方法”。,“配方法”的灵活应用,“配方” “完全平方式”非负性 例：（1）无论m取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有两个不等实根。判别式是不等于0的“完全平方式”。 （2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归的方法是“配方得到完全平方式”。 ,

11、四、提高概念教学的水平,概念教学的核心概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；,概念教学的基本环节,典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”建立与相关概念的联系。,例8 “反比例函数”的教学,路程固定，速度与时间的关系；总价固定，单价与商品数的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；等 让学生概括共同本

12、质特征； 下定义老师完成，让学生看书； 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，强调反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；,例题用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，还可以用反例让学生分析，另外还要让学生明确“求反比例函数”的含义； 通过与正比例函数、一般函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。,例9 等腰三角形的性质,先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系全等问题；等

13、。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。,问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？性质与判定 问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。 问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。,从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？ “剪”的关键步骤

14、是什么？数学含义是什么？ 上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。 对特殊的等腰三角形等边三角形，有什么相应的特殊结论？,五、探究式教学的天时地利人和,天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”； 地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；,例10 直线与平面垂直的定义,先“直观感受”、举例，再给出定义，并把主要精力放在对“合理性”的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。 提示学生：用“说得清道得明”的几何关系（即“直线与

15、直线垂直”）来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可。,例11 两个平面平行的判定问题,指导思想：类比两条直线平行的判定，提出两个平面平行的判定的猜想，再给出证明。 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的判定定理，你能说说得到这些判定定理的思想方法吗？定义法（原始，不容易说清楚），化归为线面平行（用已知想未知，与平面三公理联系等）。,问题2 从前面学习线、面位置关系的判定可知，判定方法不唯一。你有没有想过别的判定方法？ 问题3 在研究问题时，类比、推广、特殊化等是获得研究成果的常用方法。例如，类比两条直线相互平行的判定，能否得到一些猜

16、想？ 学生可能得到： a，bc，则ab， ，则；,a，bc，则ab， ，则； ， c，则； 两条直线与第三条直线相交，同位角（内错角）相等，或同旁内角互补，两直线平行能否类比？,人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。 数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导注意使用“先行组织者”。,六、怎样才算“教完了”？,舍不得在概念、原理的发生发展过程上花时间“这样能教完吗？” 给学生吃“压缩饼干”： 基础知识“一个定义，三项注意”； 解题教学“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”。,问题在那里？,不“准”或者是没有围绕概念

17、的核心，或者教错了； 不“简”在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了； 不“精”让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。,例12 函数概念的“注意事项”,集合A，B都是数集； 任意性； 唯一性； 可以一对一、多对一，但不能一对多； yf(x)是一个整体，不是f与x的乘积； 值域C=f(x)|xA是集合B的子集； 函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。,在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。 如何让学生体会“定义域”的重要性：抽象强调“定义域很重要”，“解析式相同，定义域不同就是不同的函数”没有作用。有实际意义的具体

18、例子最有效：例如：某商品每件5元，总价y与件数x之间的函数关系；步行速度5km/h，步行距离y与时间x之间的函数关系；等。先让学生写出函数，再问“为什么？”“如何区别”等。,“教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达成教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。 广种薄收是懒汉的做法。,七、重结果轻过程的危害,数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的

19、通道，是培养数学能力的土壤。,没有过程=没有思想； 没有思想就难以理解概念的实质； 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。 没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。,例13“递推数列”的教学,常见做法归纳题型，总结技巧： 1利用a1=S1，an=SnSn-1 2an+1 =k an+b型，分k=1和k1讨论， k1 时，设an+1+m=k（an +m）， 3an+1=kan +f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k1、f(

20、n)=an+b， f(n)=qn(q 0，1)，等； 4an+1 =f(n)an型； 5. an+2=pan+1+qan(p、q为常数)型； 题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章。,an+1=p an +q型通项公式的教学设计,求an+1=p an +q型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。 问题1 已知a1=1，an+1=2an+1（n N*），求通项公式。 问题2 已知a1=1，an+1=2an+3（n N* ），求通项公式。 问题3 已知a1=1，an+1=2an+q（n N* ），求通项公式。,问题4 已知a1=1，an+1=

21、3an+1（n N* ），求通项公式。 问题1、2、3可以“凑”，但问题4不能，怎么办？注意观察前三个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题4有什么启发？ 结论：都转化为an+1+t=k(an+t)的形式。 问题5 一般地，对于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通项公式？因为推广到了“同类事物”，所以要注意“完备性”，细节、特例的追究。,基于概念的核心、思想方法的教学设计以“任意角三角函数定义”为例,1教学设计的基本线索,概念及其解析（概念的核心）； 目标和目标解析； 教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）； 教学过程设计； 目标检测的设计。,2概念和概念

22、解析,概念：内涵和外延的准确表达； 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。,“任意角三角函数”的概念解读,描述周期现象的数学模型，最基本而重要的背景：匀速圆周运动。 定义域：（弧度制下）任意角的集合；对应法则：任意角的终边与单位圆的交点坐标为（x，y），正弦函数为y=sin，余弦函数为x=cos； 值域：1，1。,概念解析,核心：对应法则。 思想方法：函数思想一般函数概念的指导作用；形与数结合象限角概念基础上；模型思想单位圆上的点随角的变化而变化的规律的数学刻画。 重点：理解任意角三角函数的

23、对应法则需要一定时间。,3目标和目标解析,目标：用“了解”“理解”“掌握”及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标； 目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。,任意角三角函数概念的教学目标,目标：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 目标解析： （1）知道三角函数研究的问题； （2）经历“单位圆法”定义三角函数的过程； （3）知道三角函数的对应法则、自变量（定义域）、函数值（值域）； （4）体会定义三角函数过程中的数形结合、数学模型、化归等思想方法,4教学问题诊断分析,教师根据自己以往的教学

24、经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析，其中包括对概念学习的认知分析。在上述分析的基础上指出教学难点。,三角函数定义的教学问题诊断,认知基础： （1）函数的知识“理解三角函数定义”到底要理解什么？三要素； （2）锐角三角函数的定义背景（直角三角形）、对应关系（角度 比值）、解决的问题（解三角形）侧重几何特性； （3）任意角、弧度制、单位圆在直角坐标系下讨论问题的经验，借助单位圆使问题简化的经验。,认知分析 （1）三角函数是一类特殊函数，“三角函数”是“函数”的下位概念，用“概念同化”方式学习，要理解“三要素”的具体内涵，其

25、中核心是“对应法则”； （2）从锐角三角函数到任意角三角函数，一种“形式推广”，载体要从直角三角形过渡到直角坐标系，其核心是要明确用坐标定义三角函数的思想方法； （3）体会将“任意点”化归到“单位圆上的点”的意义求简的思想。,教学难点 （1）先要在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应，再实现数到坐标的对应，不是直接的对应，会造成理解困难； （2）锐角三角函数的“比值”过渡到坐标表示的比值，需要从函数角度重新认识问题； （3）求简到“单位圆上点的坐标”，思想方法深刻，学生不易理解。,5教学过程设计,强调教学过程的内在逻辑线索； 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念

26、的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析； 以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等。,三角函数定义的教学过程,复习 请回答下列问题： 前面学习了任意角，你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗？ 引进象限角概念有什么好处？ 在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区别？ 我们是怎样简化弧度制的度量单位的？ 设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度复习；关注的是思想方法。,先行组织者：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。例如指数函数描述了“指数爆炸”，对

27、数函数描述了“对数增长”等。圆周运动是一种重要的运动，其中最基本的是一个质点绕点O 做匀速圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？“任意角的三角函数”就是一个刻画这种“周而复始”的变化规律的函数模型。 设计意图：解决“学习的必要性”问题，明确要研究的问题。,问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角 ，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sin的值吗？ 设计意图：从函数角度重新认识锐角三角函数定义，突出“与点的位置无关”。 问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？ 设计意图：比值“坐标化”。,问题3 上述表达式比较复杂，你能设法将它化简吗？ 设计意图：为“单位圆法”作铺垫。学生答出“取点P（x，y）使x2+y2=1”后追问“为什么可以这样做？” 教师讲授：类比上述做法，设