函数的最大（小）值与导数.ppt

1、(3.3.3) 函数的最大(小)值与导数,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.,函数极值的定义,复习:,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.,如果x0是f(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f(x)0，在x0右侧附近f(x)0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值,(1)求导函数f (x)； (2

2、)求解方程f (x)=0； (3) 列表: 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.,口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,用导数法求解函数极值的步骤：,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,函数最值问题.,极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。,极大值点 ，,极小值点,你能说出函数的最大值点和最小值点吗？,最大值点 ：a ，,最小值点：d,观察区间a,b上函数y=f (x)的图象，,你能找出它的极大值点，极小值点吗？,最小值是f (b).,单调函

3、数的最大值和最小值容易被找到。,函数y=f(x)在区间a,b上,最大值是f (a),(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,f(x)在闭区间a,b上的最值：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,(如果在区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值),一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数,求函数最值的一般方法：,例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。,例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。,解

4、：由上节课的例1知，在0,3上，,当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，,并且极小值为f (2)=-4.,又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值为12，最小值为-4。,求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);,将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下,练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 -2,2上的最大值与最小值。,因为f(-2)=57, f(1.5)

5、=-28.75, f(2)=-23,所以函数的最大值为57，最小值为-28.75,解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6),令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5,练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 -1,1上的最值。,解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2),因为 在-1,1内恒大于0,所以 f(x)在-1,1上是增函数，,故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；,当x=1时，f(x)取得最大值2。,例2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,例2 求

6、函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二、,f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,例3、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20， 求它在该区间上的最小值。,令 3,解: (1) =-3x2+6x+9,函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1) (3,+),(2) f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,f(2)f(-2),于

7、是有22+a=20,解得a=-2,f(x)=-x3+3x2+9x-2,f(x)在-1,2上单调递增,在(-1,3)上 0,又由于f(x)在-2,-1上单调递减，,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。, f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。,f(-1)=1+3-9-2=-7,例4、证明：当x0时，xln(1+x),解：设f(x)=x-ln(1+x).,即xln(1+x).,又因为f(x)在x=0处连续，,所以f(x)在x0上单调递增，,从而当x0时，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0,练习3:当x1时,证明不等式:,证:设,显然f(x)在1,+

8、)上连续,且f(1)=0.,显然,当x1时, ,故f(x)是 1,+)上的增函数.,所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,例5、求证,证明：设,在x=1附近 由负到正,令 =0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值,所以当x0时，f(x) f(1)=0,从而,基本练习,1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8,2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y=100(x99+x49+x24) (B) y=100 x99 (C) y=100 x99+50 x49+25x24 (D

9、) y=100 x99+2x49,3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 .,4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，则a的取值范围为( ) (A) a0 (B) 11 (D) 0a1,6、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定,7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间2，2+t中相应的平均速度等于( ) (A) 8+2t (B) 4+2t (C) 7+2t (D) 8+2t,8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81,9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1,10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1,小 结:,求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值