(第14课)导数在实际生活中的应用.ppt

1、3.4 导数在实际生活中的应用,宿迁青华中学 徐守高,1、实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,3、求最大（最小）值应用题的一般方法,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式

2、，这是关键一步。,(2)确定函数定义域，并求出极值点。,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点。,2、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。,4.问题类型,1.几何方面的应用,2.物理方面的应用.,3.经济学方面的应用,(面积和体积等的最值),(利润方面最值),(功和功率等最值),解:设箱底边长为x cm，,箱子容积为V=x2 h,例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱

3、底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,则箱高,V =60 x3x/2,令V =0，得x=40, x=0,(舍去),得V (40)=16000,答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3,在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f (x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间),11年应用题是全卷的焦点 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角

4、三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。,练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?,R,h,解 设圆柱的高为h,底面半径为R.,则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.,又V=R2h(定值),即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极

5、值点,且是最小值点.,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.,200817如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykm （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设 （rad），将表示成的函数； （ii）设 （km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用,例3.已知某商品生

6、产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值 时,利润L最大。,分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.,求得唯一的极值点,因为L只有一个极值点,所以它是最大值.,答:产量为84时,利润L最大.,解:设B(x,0)(0x2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,例4，如图，设

7、铁路AB之间距离为50km，C到AB的距离为10km，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2a元，公路费用为4a元，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有 唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点

8、重合.,练习1、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？,x,解:设分成一段长为4xcm,则第一个正方形面积为另一个面积为,所以面积之和为,所以4x-50=0得x=12.5 ,当x12.5时，s0,故当x=12.5时s最大值为312.5平方厘米,答：当一段为4x50cm时，面积之和最小，此时另一段也为50cm,练习2、同一个圆的内接三角形中，等边三角形面积最大。,提示：设圆的半径为R（常数），等腰三角形的底的边心距为x，则高为Rx,底边长为_,等腰三角形的面积为,A,B,C,R,X,R,此时可求得ABACBC,练习3、做一个容积为256升的方底无盖水

9、箱，它的高为多少时最省材料?,练习4、用铁皮剪一个扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时容积最大？,a,x,解3、设水箱的高为xdm,则它的底边长为 a= dm,水箱所用的材料的面积为,因为s(x)只有一个极值，故高为4dm时最省料,升 立方分米,4、设圆铁皮半径为R，扇形的圆心角为弧度，则圆锥底半径为,R,圆锥的高为,圆锥形容器的容积为,因过小或过大都会使V变小，故时，容器的容积最大。,r,R,h,练习5、已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50KM，B、C间的距离为100KM，从A到C，先乘船，船速为25KM/h，再乘车，车速为50KM/h，登陆点选在何处所用时间最少？,A,B,C,D,解：设登陆点选在D处，使BDxKM，则乘船距离为， 乘车距离为(100 x)KM,所用时间,（舍去负值）,因为当x 时，t0,故当 登陆点选在距离BKM处时所用时间最少。,练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=